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6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
D’un point de vue th´ eorique, la d´ ecroissance de la temp´ erature doit ˆ etre
logarithmique
T (n) = C/ log (n)
avec une constante suffisamment grande (C
≥
osc(U )
:=
sup {|f (x) − f (x)| : x, y ∈ E} convient) pour ´ eviter de pi´ eger l’algorithme d` es le d´ epart.
Dans ces conditions, on est assur´ e de trouver asymptotiquement un optimum global de la fonction U . Autrement dit, avec des notations quelque peu
abusives
lim
n→∞
U (X n ) inf
E
U
6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs
6.5.1 Introduction
Comme son homologue l’algorithme de Metropolis-Hastings,l’´ echantillonneur
de Gibbs est une chaˆ ıne homog` ene ayant une mesure invariante prescrite. `
A
la diff´ erence du pr´ ec´ edent, ce nouveau mod` ele est intrins` equement li´ e `
a la
mesure cible π sur un espace produit E = S
d .
On notera par la suite
U = (U
1 , . . . , U
d )
un vecteur al´ eatoire de loi π sur un espace produit S
d
P((U
1 , . . . , U
d ) ∈ d(u 1 , . . . , u d )) = π(d(u 1 , u 2 , . . . , u d ))
Exemple 6.5.1 Pour illustrer cette d´ efinition abstraite, reprenons le mod` ele
d’Ising d´ ecrit `
a la fin de la section 6.2. En num´ erotant l’ensemble des L
2 sites
{1, . . . , L}
2 de 1 ` a d = L
2 , on peut identifier l’ensemble
E = {−1, +1}
{1,...,L}×{1,...,L}
avec l’ensemble produit E = {−1, +1}
d . La mesure de Bolzmann-Gibbs associ´ ee au potentiel
V : u = (u 1 , u 2 , . . . , u d ) ∈ E → V (u) = h
d
i=1
u i + J
i∼j
u i u j ,