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6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
6.4.2 Algorithme de Metropolis-Hastings ind´ ependant
Lorsque la transition de probabilit´ e Q(x, dy) est ind´ ependante du point de
d´ epart x, l’algorithme de simulation est appel´ e algorithme de MetropolisHastings ind´ ependant. La seule loi de proposition Q(x, dy), λ-r´ eversible, et
ind´ ependante du point de d´ epart x est clairement donn´ ee par la formule
Q(x, dy) =
1
λ(E)
λ(dy)
La d´ emarche pr´ ec´ edente peut s’´ etendre sans probl` eme particulier `
a des
mesures cibles η de la forme
η(dx) = Ψ G (λ)(dx) :=
1
Z
G(x) λ(dx) avec Z = λ(G) ∈]0, ∞[
(6.5)
avec une fonction G : E → R + et une mesure de probabilit´ e de r´ ef´ erence λ
sur E. Dans cette situation, le taux d’acceptation est donn´ e par
h(x, y) = 1 ∧
G(y)
G(x)
6.4.3 Mod` eles ` a variables latentes
Supposons d´ esormais que l’espace d’´ etat E est un espace produit
x = (x
1 , x
2 ) ∈ E = (E 1 × E 2 )
et la mesure λ se d´ esint` egre de la fa¸ con suivante
λ(dx) = λ(d(x
1 , x
2 )) = ν(dx
1 ) P (x
1 , dx
2 )
o` u ν est une mesure de probabilit´ e sur E 1 , et P (x
1 , dx
2 ) une transition de
probabilit´ e markovienne de E 1 vers E 2 .
Dans ces conditions, la mesure (6.5) s’exprime sous la forme suivante
η(d(x
1 , x
2 )) =
1
Z
G(x
1 , x
2 ) ν(dx
1 ) P (x
1 , dx
2 )
avec la constante de normalisation
Z =
G(x
1 , x
2 ) ν(dx
1 ) P (x
1 , dx
2 )
La variable x
2 est li´ ee ` a un conditionnement structurel interne du mod` ele
sur l’espace produit. En statistique, cette variable est parfois appel´ ee une
variable latente.