6.4 Simulation de mesures de Boltzmann-Gibbs
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On notera Q 1 (x
1 , dy
1 ) une transition de probabilit´ e sur l’espace E 1 telle
que les deux mesures d´ efinies ci-apr` es
(ν × Q 1 ) 0 (d(x
1 , y
1 )) = ν(dx
1 )Q 1 (x
1 , dy
1 )
et
(ν × Q 1 ) 1 (d(x
1 , y
1 )) = ν(dy
1 )Q 1 (y
1 , dx
1 )
soient absolument continues. Notons enfin Q la probabilit´ e de transition sur
E 1 × E 2 d´ efinie par
Q(x, dy) = Q((x
1 , x
2 ), d(y
1 , y
2 )) = Q 1 (x
1 , dy
1 )P (y
1 , dy
2 )
pour tout x = (x
1 , x
2 ), avec dy = d(y
1 , y
2 ) un voisinage infinit´ esimal du point
y = (y
1 , y
2 ).
Par construction, nous avons
(η × Q) 0 (d(x, y)) := η(dx)Q(x, dy)
=
1
Z
G(x
1 , x
2 ) ν(dx
1 ) P (x
1 , dx
2 )
Q 1 (x
1 , dy
1 )P (y
1 , dy
2 )
et
(η × Q) 1 (d(x, y)) := η(dy)Q(y, dx)
=
1
Z
G(y
1 , y
2 ) ν(dy
1 ) P (y
1 , dy
2 )
Q 1 (y
1 , dx
1 )P (x
1 , dx
2 )
Ces deux mesures sont absolument continues, et la d´ eriv´ e de Radon-Nykodim
est donn´ ee par la formule suivante
d (η × Q) 1
d (η × Q) 0
(x, y) =
G(y
1 , y
2 )
G(x 1 , x 2 )
d(ν × Q 1 ) 1
d(ν × Q 1 ) 0
(x
1 , y
1 )
Autrement dit, le taux d’acceptation de l’algorithme de Metropolis-Hastings
dans E de noyau de proposition Q est donn´ e par
h(x, y) = h((x
1 , y
1 ), (x
2 , y
2 )) = 1 ∧
G(y
1 , y
2 )
G(x 1 , x 2 )
×
d(ν × Q 1 ) 1
d(ν × Q 1 ) 0
(x
1 , y
1 )
Lorsque la transition Q 1 est r´ eversible par rapport ` a la loi ν, nous avons
h(x, y) = h((x
1 , y
1 ), (x
2 , y
2 )) = 1 ∧
G(y
1 , y
2 )
G(x 1 , x 2 )
= 1 ∧
G(y)
G(x)
Dans tous les cas examin´ es pr´ ec´ edemment, il est essentiel de souligner que
la transition de Metropolis-Hastings est ind´ ependante de la constante de normalisation Z, impossible `
a calculer dans la plupart des probl` emes int´ eressants.