6.4 Simulation de mesures de Boltzmann-Gibbs
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La mesure de probabilit´ e η est une mesure invariante
η = ηM
(6.4)
de la transition de Metropolis-Hastings M = KH d´ efinie par
M (x, dz) =
K(x, d(y, y
)) H((y, y
), dz)
= h(x, z) Q(x, dz) +
1 −
h(x, y) Q(x, dy)
δ x (dz).
Exercice 6.3.1 V´ erifier (6.4)
6.4 Simulation de mesures de Boltzmann-Gibbs
6.4.1 Introduction
Examinons la situation o` u la mesure η est la mesure de Boltzmann-Gibbs
η(dx) =
1
Z
exp[−U (x)] λ(dx)
Z = λ(exp[−U ])
avec une fonction ´ energie U : E → R + et une mesure de probabilit´ e de
r´ ef´ erence λ sur E. Pour toute transition de probabilit´ e Q qui soit λ-r´ eversible,
c’est-` a-dire
(λ × Q) 0 = (λ × Q) 1 ,
on a bien
d(η × Q) 1
d(η × Q) 0
(x, y) =
e
−U (y)
e −U (x) ×
d(λ × Q) 1
d(λ × Q) 0
(x, y)
= e
−(U (y)−U (x))
Dans cette situation, le taux d’acceptation de l’algorithme de MetropolisHastings est simplement donn´ e par la formule exponentielle
h(x, y) = 1 ∧ e
−(U (y)−U (x)) = exp[(U (y) − U (x))
+ ]
avec pour tout a, b ∈ R o` u a ∨ b = max (a, b) et a
+ = a ∨ 0.