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6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
6.3.2 Algorithme de simulation
La transition de Metropolis-Hastings est la compos´ ee de deux transitions markoviennes. La premi` ere consiste, en partant d’un ´ etat x ` a proposer
al´ eatoirement un nouveau point y
selon la transition Q(x, dy
). La seconde
´ etape consiste ` a accepter ou ` a refuser cette proposition. Plus pr´ ecis´ ement, on
accepte y
avec la probabilit´ e
h(x, y
) = 1 ∧ g(x, y
)
En cas de refus, on revient sur l’´ etat initial x.
Le lecteur attentif aura not´ e que le taux d’acceptation ne d´ epend pas
uniquement de l’´ etat propos´ e y
, mais du couple d’´ etats (x, y
). Cette double
transition peut donc s’exprimer sch´ ematiquement par une ´ evolution d’un ´ etat
x ∈ E vers un couple (y, y
) ∈ (E × E) avec y = x, puis une op´ eration
d’acceptation/rejet de la transition (x, y
) ∈ (E × E) vers un ´ etat z ∈ E, avec
z = x (rejet) ou bien z = y
(acceptation).
La transition de la chaˆ ıne correspondante X n s’exprime donc
sch´ ematiquement sous la forme suivante :
X n
proposition
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −→ (X n , Y n )
acceptation/rejet
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −→ X n+1 = (X n ou Y n )
La premi` ere ´ etape
X n
proposition
− − − − − − − − − −→ (X n , Y n )
est d´ etermin´ ee formellement par une transition de probabilit´ e K(x, d(y, y
))
de E dans (E × E) d´ efinie par
K(x, d(y, y
)) = δ x (dy) Q(y, dy
)
La seconde ´ etape
(X n , Y n )
acceptation
− − − − − − − −
− − −→ X n+1 = (X n ou Y n )
est d´ etermin´ ee formellement par une transition de probabilit´ e H((y, y
), dz)
de (E × E) dans E d´ efinie par
H((y, y
), dz) = h(y, y
) δ y (dz) + (1 − h(y, y
)) δ y (dz).