6.3 Les transitions de Metropolis-Hastings
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Dans de nombreux probl` emes pratiques, l’espace d’´ etat E est soit un ensemble discret, soit l’espace R
d . Si E est discret, on utilise plutˆ ot la notation
(η × Q) 0 (x, y) = η(x) Q(x, y)
(η × Q) 1 (x, y) = η(y) Q(y, x).
Lorsque E = R
d , il arrive souvent que les mesures η et les transitions Q soient
absolument continues par rapport `
a la mesure de Lebesgue dx sur R
d . Dans
cette situation, on utilisera les notations abusives suivantes :
η(dx) = η(x) dx et Q(x, dy) = Q(x, y) dy
Avec ce syst` eme de notations, les mesures (η × Q) 0 et (η × Q) 1 s’expriment
sous la forme
(η × Q) 0 (d(x, y)) = η(x) Q(x, y) dxdy
(η × Q) 1 (d(x, y)) = η(y) Q(y, x) dxdy.
Nous conviendrons par la suite que les (η × Q) 0 et (η × Q) 1 sont absolument continues.
Dans les deux situations examin´ ees pr´ ec´ edemment, cette propri´ et´ e est
´ equivalente ` a la suivante
η(x) Q(x, y) = 0 ⇐⇒ η(y) Q(y, x) = 0
Apr` es cette s´ erie de notations, notre prochain objectif est de construire
une transition de probabilit´ e M sur E ayant la mesure η comme point fixe
η = ηM
La strat´ egie de Metropolis-Hastings est fond´ ee sur une interpr´ etation particuli` ere des d´ eriv´ ees de Radon-Nykodim
g(x, y) =
d(η × Q) 1
d(η × Q) 0
(x, y).
Dans le cas o` u E est discret, ou bien si E = R
d , cette d´ eriv´ ee s’exprime plus
simplement sous la forme d’un rapport de densit´ es
g(x, y) =
η(y) Q(y, x)
η(x) Q(x, y)
.
On notera que cette d´ efinition est incompl` ete lorsque η(x) Q(x, y) = 0. Dans
ce cas, notre hypoth` ese d’absolue continuit´ e des mesures entraˆ ıne que l’on a
aussi η(y) Q(y, x) = 0 ; on pose alors dans ce cas g(x, y) = 0.
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Dans de nombreux probl` emes pratiques, l’espace d’´ etat E est soit un ensemble discret, soit l’espace R
d . Si E est discret, on utilise plutˆ ot la notation
(η × Q) 0 (x, y) = η(x) Q(x, y)
(η × Q) 1 (x, y) = η(y) Q(y, x).
Lorsque E = R
d , il arrive souvent que les mesures η et les transitions Q soient
absolument continues par rapport `
a la mesure de Lebesgue dx sur R
d . Dans
cette situation, on utilisera les notations abusives suivantes :
η(dx) = η(x) dx et Q(x, dy) = Q(x, y) dy
Avec ce syst` eme de notations, les mesures (η × Q) 0 et (η × Q) 1 s’expriment
sous la forme
(η × Q) 0 (d(x, y)) = η(x) Q(x, y) dxdy
(η × Q) 1 (d(x, y)) = η(y) Q(y, x) dxdy.
Nous conviendrons par la suite que les (η × Q) 0 et (η × Q) 1 sont absolument continues.
Dans les deux situations examin´ ees pr´ ec´ edemment, cette propri´ et´ e est
´ equivalente ` a la suivante
η(x) Q(x, y) = 0 ⇐⇒ η(y) Q(y, x) = 0
Apr` es cette s´ erie de notations, notre prochain objectif est de construire
une transition de probabilit´ e M sur E ayant la mesure η comme point fixe
η = ηM
La strat´ egie de Metropolis-Hastings est fond´ ee sur une interpr´ etation particuli` ere des d´ eriv´ ees de Radon-Nykodim
g(x, y) =
d(η × Q) 1
d(η × Q) 0
(x, y).
Dans le cas o` u E est discret, ou bien si E = R
d , cette d´ eriv´ ee s’exprime plus
simplement sous la forme d’un rapport de densit´ es
g(x, y) =
η(y) Q(y, x)
η(x) Q(x, y)
.
On notera que cette d´ efinition est incompl` ete lorsque η(x) Q(x, y) = 0. Dans
ce cas, notre hypoth` ese d’absolue continuit´ e des mesures entraˆ ıne que l’on a
aussi η(y) Q(y, x) = 0 ; on pose alors dans ce cas g(x, y) = 0.