164
6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
´ etats de magn´ etisation possibles sont repr´ esent´ es par des mesures de BolztmannGibbs associ´ ees `
a des param` etres de temp´ erature.
L’interaction ferromagn´ etique souligne la propri´ et´ e que deux spins voisins
souhaitent avoir la mˆ eme orientation. Dans le cas contraire, on parle d’antiferromagn´ etisation. On repr´ esente math´ ematiquement ces interactions par la
fonction d’´ energie
U J (x) = −J
i∼j
x(i)x(j)
Lorsque deux spins voisins x(i) et x(j) ont la mˆ eme valeur, on a clairement
x(i)x(j) = 1 (faible ´ energie), dans le cas contraire x(i)x(j) = −1 (grande
´ energie). Le param` etre J t´ emoigne du caract` ere ferromagn´ etique J > 0 ou
anti-ferromagn´ etique du mod` ele J < 0. Le cas J = 1 est le mod` ele ferromagn´ etique la plus simple.
Ces mod` eles de verres de spin et leurs g´ en´ eralisations sont aussi utilis´ es
en sciences ´ economiques pour mod´ eliser des syst` emes de coop´ eration ou
non entre individus. Dans ce contexte, les valeurs +1 et −1 permettent de
quantifier si deux individus sont d’accord ou non sur une opinion, ami ou
ennemis, etc. La fonction d’interaction U J correspond `
a la qualit´ e “libre”
d’un syst` eme social, et le champ ext´ erieur h s’interpr
´
ete comme un degr´ e
de persistance et d’entˆ etement des individus dans un climat social donn´ e.
6.3 Les transitions de Metropolis-Hastings
6.3.1 Introduction
L’algorithme de Metropolis-Hastings est une chaˆ ıne de Markov X n homog` ene ayant une mesure invariante prescrite η sur un espace d’´ etat E.
Cette chaˆ ıne ´ evolue selon un m´ ecanisme de proposition, et un m´ ecanisme
d’acceptation-rejet.
L’´ etape de proposition vise ` a explorer l’espace, en proposant des ´ etats
al´ eatoires selon une transition markovienne Q. Cette exploration al´ eatoire est
le plus souvent dict´ ee par une topologie de voisinages sur l’espace d’´ etat. L’algorithme propose alors al´ eatoirement un ´ etat voisin du pr´ ec´ edent. Comme son
nom l’indique, l’´ etape d’acceptation-rejet consiste `
a accepter la proposition
pr´ ec´ edente avec une certaine probabilit´ e, dans le cas contraire l’algorithme
retourne `
a son ´ etat pr´ ec´ edent la proposition.
Pour d´ ecrire avec pr´ ecision la probabilit´ e d’acceptation de l’algorithme,
il convient d’introduire les mesures de probabilit´ es (η × Q) 0 et (η × Q) 1 sur
l’espace produit (E × E) d´ efinies par les formules suivantes
(η × Q) 0 (d(x, y)) = η(dx) Q(x, dy)
(η × Q) 1 (d(x, y)) = η(dy) Q(y, dx).
6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
´ etats de magn´ etisation possibles sont repr´ esent´ es par des mesures de BolztmannGibbs associ´ ees `
a des param` etres de temp´ erature.
L’interaction ferromagn´ etique souligne la propri´ et´ e que deux spins voisins
souhaitent avoir la mˆ eme orientation. Dans le cas contraire, on parle d’antiferromagn´ etisation. On repr´ esente math´ ematiquement ces interactions par la
fonction d’´ energie
U J (x) = −J
i∼j
x(i)x(j)
Lorsque deux spins voisins x(i) et x(j) ont la mˆ eme valeur, on a clairement
x(i)x(j) = 1 (faible ´ energie), dans le cas contraire x(i)x(j) = −1 (grande
´ energie). Le param` etre J t´ emoigne du caract` ere ferromagn´ etique J > 0 ou
anti-ferromagn´ etique du mod` ele J < 0. Le cas J = 1 est le mod` ele ferromagn´ etique la plus simple.
Ces mod` eles de verres de spin et leurs g´ en´ eralisations sont aussi utilis´ es
en sciences ´ economiques pour mod´ eliser des syst` emes de coop´ eration ou
non entre individus. Dans ce contexte, les valeurs +1 et −1 permettent de
quantifier si deux individus sont d’accord ou non sur une opinion, ami ou
ennemis, etc. La fonction d’interaction U J correspond `
a la qualit´ e “libre”
d’un syst` eme social, et le champ ext´ erieur h s’interpr
´
ete comme un degr´ e
de persistance et d’entˆ etement des individus dans un climat social donn´ e.
6.3 Les transitions de Metropolis-Hastings
6.3.1 Introduction
L’algorithme de Metropolis-Hastings est une chaˆ ıne de Markov X n homog` ene ayant une mesure invariante prescrite η sur un espace d’´ etat E.
Cette chaˆ ıne ´ evolue selon un m´ ecanisme de proposition, et un m´ ecanisme
d’acceptation-rejet.
L’´ etape de proposition vise ` a explorer l’espace, en proposant des ´ etats
al´ eatoires selon une transition markovienne Q. Cette exploration al´ eatoire est
le plus souvent dict´ ee par une topologie de voisinages sur l’espace d’´ etat. L’algorithme propose alors al´ eatoirement un ´ etat voisin du pr´ ec´ edent. Comme son
nom l’indique, l’´ etape d’acceptation-rejet consiste `
a accepter la proposition
pr´ ec´ edente avec une certaine probabilit´ e, dans le cas contraire l’algorithme
retourne `
a son ´ etat pr´ ec´ edent la proposition.
Pour d´ ecrire avec pr´ ecision la probabilit´ e d’acceptation de l’algorithme,
il convient d’introduire les mesures de probabilit´ es (η × Q) 0 et (η × Q) 1 sur
l’espace produit (E × E) d´ efinies par les formules suivantes
(η × Q) 0 (d(x, y)) = η(dx) Q(x, dy)
(η × Q) 1 (d(x, y)) = η(dy) Q(y, dx).