XVIII Table des mati` eres
3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Description des mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Interpr´ etations particulaires en champ moyen . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Champs moyens de type gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Mod` eles simplifi´ es de gaz de McKean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Flots de mesures de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.1 Description des mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.2 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.3 Champs moyens de type ´ evolutionnaire . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Mod` eles de renforcement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Les pi` eges du renforcement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Les lois d’´ evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Les limitations de vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.1 Les deux cas extrˆ emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.2 Convergence ` a l’´ equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.3 Borne sup´ erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.4 Borne inf´ erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Une loi des grands nombres ralentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Les trois uniques formes de ralentissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.2 Les variances d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.3 Estimations des erreurs locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 M´ ecanismes de renforcements g´ en´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7.1 Chaˆ ınes en auto interaction ´ evolutionnaires . . . . . . . . . . 86
4.7.2 Un mod` ele de mutation et s´ election renforc´ ees . . . . . . . . 87
4.7.3 La mesure d’´ equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Du temps discret au temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 L’´ equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1 Les fluctuations browniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.3 Marches al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.4 L’´ equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1.5 Une formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Processus de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 Sch´ emas de discr´ etisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.2 Une formule de Taylor stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.3 Equations de Kolmogorov et Fokker-Planck . . . . . . . . . . . 104
5.3 Exemples de diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1 Processus d’Ornstein-Ulhenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.2 Mouvement brownien g´ eom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Processus ` a sauts marqu´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Description des mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Interpr´ etations particulaires en champ moyen . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Champs moyens de type gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Mod` eles simplifi´ es de gaz de McKean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Flots de mesures de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.1 Description des mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.2 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.3 Champs moyens de type ´ evolutionnaire . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Mod` eles de renforcement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Les pi` eges du renforcement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Les lois d’´ evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Les limitations de vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.1 Les deux cas extrˆ emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.2 Convergence ` a l’´ equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.3 Borne sup´ erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.4 Borne inf´ erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Une loi des grands nombres ralentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Les trois uniques formes de ralentissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.2 Les variances d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.3 Estimations des erreurs locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 M´ ecanismes de renforcements g´ en´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7.1 Chaˆ ınes en auto interaction ´ evolutionnaires . . . . . . . . . . 86
4.7.2 Un mod` ele de mutation et s´ election renforc´ ees . . . . . . . . 87
4.7.3 La mesure d’´ equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Du temps discret au temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 L’´ equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1 Les fluctuations browniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.3 Marches al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.4 L’´ equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1.5 Une formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Processus de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 Sch´ emas de discr´ etisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.2 Une formule de Taylor stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.3 Equations de Kolmogorov et Fokker-Planck . . . . . . . . . . . 104
5.3 Exemples de diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1 Processus d’Ornstein-Ulhenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.2 Mouvement brownien g´ eom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Processus ` a sauts marqu´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113