Table des mati` eres
Partie I Mod` eles stochastiques
1 Chaˆ ınes de Markov discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Chaˆ ınes de Markov discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Semigroupes de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Processus historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Interpr´ etation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Quelques exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Files d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Mod` ele d’urnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Marche al´ eatoire sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Marche al´ eatoire sur Z
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5 Marche al´ eatoire arrˆ et´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.6 Processus de branchements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.7 Processus de survie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.8 Mod` eles d’´ epid´ emiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Description des mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Semigroupe des transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 ´
Equations de Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Processus historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Quelques illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Chaˆ ınes lin´ eaires et gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 ´
Evolutions dans des milieux absorbants . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Dynamiques de population avec branchements . . . . . . . . 34
2.2.5 Algorithmes de Robbins-Monro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Partie I Mod` eles stochastiques
1 Chaˆ ınes de Markov discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Chaˆ ınes de Markov discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Semigroupes de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Processus historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Interpr´ etation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Quelques exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Files d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Mod` ele d’urnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Marche al´ eatoire sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Marche al´ eatoire sur Z
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5 Marche al´ eatoire arrˆ et´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.6 Processus de branchements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.7 Processus de survie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.8 Mod` eles d’´ epid´ emiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Description des mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Semigroupe des transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 ´
Equations de Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Processus historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Quelques illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Chaˆ ınes lin´ eaires et gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 ´
Evolutions dans des milieux absorbants . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Dynamiques de population avec branchements . . . . . . . . 34
2.2.5 Algorithmes de Robbins-Monro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45