Table des mati` eres
XIX
5.4.1 Une chaˆ ıne de Markov ` a horloge g´ eom´ etrique . . . . . . . . . 113
5.4.2 D´ ecomposition de Doob-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.3 Une formule de Taylor stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.4 Analyse des temps de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.5 Processus ` a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4.6 Equation int´ egro-diff´ erentielle de Kolomogorov . . . . . . . . 122
5.5 Exemples de processus ` a sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5.1 Syst` eme de r´ eactions chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5.2 Mod` eles compartimentaux en ´ epid´ emiologie . . . . . . . . . . . 125
5.5.3 Syst` eme de communication ` a un serveur . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.4 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.5 Processus de naissance et mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.6 Processus spatialement non homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.7 Processus d’extinction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5.8 Processus de naissances de Yule-Furry . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Processus de diffusion et ` a sauts marqu´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.6.1 Description des mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.6.2 Transitions locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6.3 Description des g´ en´ erateurs infinit´ esimaux . . . . . . . . . . . . 133
5.7 Processus non homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.7.1 Description du mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.7.2 Processus non lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.7.3 Interpr´ etations particulaires en champ moyen . . . . . . . . . 141
Partie II M´ ethodes stochastiques
6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)147
6.1 ´
El´ ements d’analyse asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.1 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.2 Le th´ eor` eme ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.1.3 Exemple, les fonctions it´ er´ ees stochastiques . . . . . . . . . . . 152
6.1.4 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2 Mesures invariantes et algorithmes de simulation . . . . . . . . . . . . 159
6.2.1 Plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.2 Mod` ele d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3 Les transitions de Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.2 Algorithme de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4 Simulation de mesures de Boltzmann-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.2 Algorithme de Metropolis-Hastings ind´ ependant . . . . . . . 168
6.4.3 Mod` eles `
a variables latentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.4 L’algorithme de recuit simul´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
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5.4.1 Une chaˆ ıne de Markov ` a horloge g´ eom´ etrique . . . . . . . . . 113
5.4.2 D´ ecomposition de Doob-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.3 Une formule de Taylor stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.4 Analyse des temps de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.5 Processus ` a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4.6 Equation int´ egro-diff´ erentielle de Kolomogorov . . . . . . . . 122
5.5 Exemples de processus ` a sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5.1 Syst` eme de r´ eactions chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5.2 Mod` eles compartimentaux en ´ epid´ emiologie . . . . . . . . . . . 125
5.5.3 Syst` eme de communication ` a un serveur . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.4 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.5 Processus de naissance et mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.6 Processus spatialement non homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.7 Processus d’extinction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5.8 Processus de naissances de Yule-Furry . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Processus de diffusion et ` a sauts marqu´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.6.1 Description des mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.6.2 Transitions locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6.3 Description des g´ en´ erateurs infinit´ esimaux . . . . . . . . . . . . 133
5.7 Processus non homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.7.1 Description du mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.7.2 Processus non lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.7.3 Interpr´ etations particulaires en champ moyen . . . . . . . . . 141
Partie II M´ ethodes stochastiques
6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)147
6.1 ´
El´ ements d’analyse asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.1 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.2 Le th´ eor` eme ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.1.3 Exemple, les fonctions it´ er´ ees stochastiques . . . . . . . . . . . 152
6.1.4 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2 Mesures invariantes et algorithmes de simulation . . . . . . . . . . . . 159
6.2.1 Plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.2 Mod` ele d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3 Les transitions de Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.2 Algorithme de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4 Simulation de mesures de Boltzmann-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.2 Algorithme de Metropolis-Hastings ind´ ependant . . . . . . . 168
6.4.3 Mod` eles `
a variables latentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.4 L’algorithme de recuit simul´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172