142
5 Du temps discret au temps continu
En int´ egrant les variables y
N −1 , il en d´ ecoule l’approximation suivante
(R d ) 2
P
Δ
tn−1,m(x)
x
N −1 , dy
N −1
P
Δ
tn−1,m(x)
x
N , dy
N
F (y
1 , . . . , y
N )
=
R d
P
Δ
tn−1,m(x)
x
N −1 , dy
N −1
F (y
1 , . . . , y
N −1 , x
N )
+
R d
P
Δ
tn−1,m(x)
x
N −1 , dy
N −1
L tn−1,m(x) (F (y
1 , . . . , y
N −1 , .))(x
N ) Δt
+o(Δt)
En utilisant ` a nouveau les approximations (5.26), nous avons
R d
P
Δ
tn−1,m(x)
x
N −1 , dy
N −1
F (y
1 , . . . , y
N −1 , x
N )
= F (y
1 , . . . , y
N −2 , x
N −1 , x
N ) + L tn−1,m(x) (F (y
1 , . . . , y
N −2 , .,x
N ))(x
N −1 ) Δt
+o(Δt)
et
R d
P
Δ
tn−1,m(x)
x
N −1 , dy
N −1
L tn−1,m(x) (F (y
1 , . . . , y
N −1 , .))(x
N ) Δt
= L tn−1,m(x) (F (y
1 , . . . , y
N −2 , x
N −1 , .))(x
N ) Δt + o(Δt)
On en d´ eduit la formule
(R d ) 2
P
Δ
tn−1,m(x)
x
N −1 , dy
N −1
P
Δ
tn−1,m(x)
x
N , dy
N
F (y
1 , . . . , y
N )
= F (y
1 , . . . , y
N −2 , x
N −1 , x
N ) + L tn−1,m(x) (F (y
1 , . . . , y
N −2 , .,x
N ))(x
N −1 ) Δt
+ L tn−1,m(x) (F (y
1 , . . . , y
N −2 , x
N −1 , .))(x
N ) Δt
+o(Δt)
En int´ egrant successivement les variables y
N −2 , . . . , y
1 , on d´ emontre ainsi formellement la formule suivante