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5 Du temps discret au temps continu
4. On rappelle que la solution de l’´ equation de la chaleur d´ efinie au sens des
distributions par
∂ t q t =
σ
2
2
∂ x,x q t
est donn´ ee par q t (x) =
1
√ 2πσ 2 t
exp
−
x
2
2σ 2 t
. V´ erifier que V t = −σ
2 ∂ x log(q t )
est solution de l’´ equation de Burgers. On note
U t (x) =
U 0 (y) q t (x − y) dy
l’´ equation de transport de l’´ equation de la chaleur. D’apr` es ce qui pr´ ec` ede
V t = −σ
2 ∂ x log(U t ) est une solution de l’´ equation de Burgers. V´ erifier que
les conditions initiales sont li´ ees par la relation
U 0 (x) = U 0 (0) × e
−
1
σ 2
x
0
V0(y)dy
Montrer que
∂ x U t (x) = −
U 0 (0)
√
2σ 2 πt
∂ x
e
−
1
σ 2
x
0
V0(y)dy
e
−
(x−y) 2
2σ 2 t
dy
On se place dans la situation suivante
η 0 = δ 0 ⇒ V 0 (x) = η 0 ([x, ∞[) = 1 [x,∞[ (0) = 1 ]−∞,0] (x)
Dans ce cas, d´ emontrer la formule
V t (x) =
E
1 ]−∞,0] (x + σW t ) e
−
1
σ 2 (x+σWt)
E
1 ]0,∞[ (x + σW t )
+ E
1 ]−∞,0] (x + σW t ) e
−
1
σ 2 (x+σWt)
(5.27)
5. On se place dans la situation suivante
η 0 = δ 0 ⇒ V 0 (x) = η 0 ([x, ∞[) = 1 [x,∞[ (0) = 1 ]−∞,0] (x)
D´ emontrer la formule
V t (x) =
exp
t−2x
2σ 2
1 −
1
2 erfc
t−x
√ 2σ 2 t
exp
t−2x
2σ 2
1 −
1
2 erfc
t−x
√ 2σ 2 t
+
1
2 erfc
−
x
√ 2σ 2 t
(5.28)
avec la fonction
erfc(x) =
2
√ π
∞
x
e
−y
2 dy