5.7 Processus non homog` enes
139
Plus pr´ ecis´ ement, nous avons la formule suivante
1
Δ
η
Δ
tn − η
Δ
tn−1
= η
Δ
tn−1 L
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
avec les op´ erateurs int´ egraux L
Δ
t,η donn´ es par
L
Δ
t,η :=
1
Δt
P
Δ
t,η − Id
−→ Δt↓0 L t,η
(5.26)
En g´ en´ eral, ces ´ equations non lin´ eaires `
a temps discret ou continu ne
peuvent ˆ etre r´ esolues de mani` ere explicite. L’exercice suivant pr´ esente un cas
tr` es particulier, et assez ´ el´ ementaire, dans lequel il est possible de r´ esoudre
explicitement ces ´ equations [22].
Exercice 5.7.1 On consid` ere la diffusion non lin´ eaire dans R donn´ ee par
dX t = b(X t , η t ) dt + σ(X t , η t ) dβ t
avec η t = Loi(X t ) et les fonctions
b(x, η) =
b(x, y) η(dy) et σ(x, η) =
σ(x, y) η(dy)
1. V´ erifier que η t v´ erifie l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles non lin´ eaire d´ efinie
au sens faible pour toute fonction f suffisamment r´ eguli` ere par l’´ equation
(5.25) avec
L ηt (f )(x) = b(x, η t ) ∂ x (f )(x) +
1
2
σ(x, η t ) ∂ x,x (f )(x)
2. V´ erifier que la densit´ e p t de η t est solution de l’´ equation non lin´ eaire
suivante
d
dt
p t = L
ηt (p t )
avec le g´ en´ erateur dual
L
ηt (p t ) = −∂ x (b(x, η t ) p t ) +
1
2
∂ x,x (σ(x, η t ) p t )
3. On pose b(x, y) = 1 [x,∞[ (y), et σ(x, y) = σ > 0. V´ erifier que V t (x) =
η t ([x, ∞[) satisfait l’´ equation de Burgers
∂ t V t = −V t ∂ x V t +
σ
2
2
∂ x,x V t