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5 Du temps discret au temps continu
Lorsque le pas de temps tend vers 0, le processus limite est d´ esormais une
diffusion ` a sauts non lin´ eaire. Entre deux instants de sauts T k et T k+1 , le
processus X t n’est autre qu’une diffusion d´ ecrite par l’´ equation
dX t = b t,ηt (X t ) dt + σ t,ηt (X t ) dβ t t ∈ [T k , T k+1 [
initialis´ ee au temps T k au point X T k . L’instant de saut T k+1 est d´ etermin´ e
par la formule suivante
T k+1 := inf
t > T k :
t
T k
V s,ηs (X s ) ds ≥ E k+1
o` u (E k ) k≥1 d´ esigne une s´ equence de variables al´ eatoires exponentielles ind´ ependantes de param` etre 1.
Le g´ en´ erateur infinit´ esimal du processus X t est donn´ e par la somme des
deux g´ en´ erateurs
L t,ηt (f ) = L
c
t,ηt (f ) + L
d
t,ηt (f )
(5.24)
avec
L
c
t,ηt (f )(x)
:=
1≤i≤d b i,t,ηt (x)
∂f
∂x i (x) +
1
2
1≤i,j≤d
σ t,ηt (x) σ
t,ηt (x)
i,j
∂
2 f
∂x i ∂x j
(x)
et
L
d
t,ηt (f )(x) := V t,ηt (x)
(f (y) − f (x)) M t,ηt (x, dy)
Par construction, les distributions des ´ etats Loi(X t ) = η t v´ erifient l’´ equation
int´ egro-diff´ erentielle d´ efinie au sens faible pour toute fonction f suffisamment r´ eguli` ere par l’´ equation suivante
d
dt
η t (f ) = η t (L ηt (f ))
(5.25)
En reprenant la discussion men´ ee `
a la section 5.6.3, ces ´ equations sont les
versions `
a temps continu des ´ equations (5.23).