5.7 Processus non homog` enes
137
Pour fixer les id´ ees, on pourra supposer que
b t,η (x) =
b t (x, y) η(dy)
σ t,η (x) =
σ t (x, y) η(dy) et V t,η (x) =
V t (x, y) η(dy)
pour des fonctions donn´ ees ( b t ,
σ t ,
V t ) sur R
d+d . De mˆ eme, M t,η d´ esigne une
collection de noyaux de Markov index´ ee par le param` etre temporel t, et les
mesures de probabilit´ es η ∈ P(R
d ). En reprenant la discussion men´ ee `
a la
section 5.6.2, les transitions locales
X
Δ
tn−1
X
Δ
tn−1 X
Δ
tn
sont donn´ ees par la formule
P
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
(f )(x) = E
f (X
Δ
tn )
X
Δ
tn−1 = x
= S
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
K
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
(f )
(x)
avec la transitions des sauts
S
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
(x, dy) = P
X
Δ
tn−1 ∈ dy
X
Δ
tn−1 = x
li´ ee `
a la distribution η
Δ
tn−1 = Loi(X
Δ
tn−1 ), et la partie diffusive
K
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
(x, dy) = P
X
Δ
tn ∈ dy
X
Δ
tn−1 = x
li´ ee `
a la distribution
η
Δ
tn−1 = η
Δ
tn−1 S
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
= Loi(
X
Δ
tn−1 )
Par construction, les transitions X
Δ
tn−1 X
Δ
tn du processus sont donn´ ees
par
P
X
Δ
tn ∈ dx | X
Δ
tn−1
= P
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
X
Δ
tn−1 , dx
avec η
Δ
tn−1 = Loi(X
Δ
tn−1 ), et la loi initiale Loi(X
Δ
t0 ) = η
Δ
t0 .
Par cons´ equent, les distributions des ´ etats Loi(X
Δ
tn ) = η
Δ
tn v´ erifient
l’´ equation suivante
η
Δ
tn = Φ
Δ
tn−1,tn
η
Δ
tn−1
:= η
Δ
tn−1 P
Δ
tn−1,η Δ
t n−1
(5.23)
Le processus al´ eatoire `
a temps discret correspondant fait partie de la classe
des chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires d´ ecrite ` a la section 3.