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5 Du temps discret au temps continu
initialis´ ee au temps T k au point X T k . L’instant de saut T k+1 est d´ etermin´ e
par la formule suivante
T k+1 := inf
t > T k :
t
T k
V s (X s ) ds ≥ E k+1
o` u (E k ) k≥1 d´ esigne une s´ equence de variables al´ eatoires exponentielles ind´ ependantes de param` etre 1.
Le g´ en´ erateur infinit´ esimal du processus X t est donn´ e par la somme des deux
g´ en´ erateurs
L t (f ) = L
c
t (f ) + L
d
t (f )
(5.22)
avec
L
c
t (f )(x) :=
1≤i≤d
b i,t (x)
∂f
∂x i (x) +
1
2
1≤i,j≤d
(σ t (x) σ
t (x)) i,j
∂
2 f
∂x i ∂x j
(x)
et
L
d
t (f )(x) := V t (x)
(f (y) − f (x)) M t (x, dy)
5.7.2 Processus non lin´ eaires
Supposons que les param` etres (b tn−1 , σ tn−1 , V tn−1 , M tn−1 ) d´ ecrits en (5.19),
(5.20) et (5.21) soient li´ es ` a la loi de l’´ etat al´ eatoire du processus `
a l’´ etape
pr´ ec´ edente. Plus pr´ ecis´ ement, supposons que le taux de saut et la transition
des marques des sauts
(V tn−1 , M tn−1 ) = (V tn−1,η Δ
t n−1
, M tn−1,η Δ
t n−1
)
d´ ependent de la loi η
Δ
tn−1 de la variable al´ eatoire X
Δ
tn−1 ; et les coefficients de
la partie diffusive
(b tn−1 , σ tn−1 ) = (b tn−1, η Δ
t n−1
, σ tn−1, η Δ
t n−1
)
d´ ependent de la loi
η
Δ
tn−1 de la variable al´ eatoire
X
Δ
tn−1 .
Dans cette construction,
(t, η, x) → b t,η (x)
(t, η, x) → σ t,η (x) et (t, η, x) → V t,η (x)
d´ esignent des fonctions suffisamment r´ eguli` eres sur
[0, ∞[×P(R
d ) × R
d
,
o` u P(R
d ) d´ esigne l’ensemble des mesures de probabilit´ es sur R
d .