L
Δ
tn−1 (f )(x)
=
L
Δ,d
tn−1 (f )(x) + L
Δ,c
tn−1 (f )(x) + L
Δ,d
tn−1
L
Δ,c
tn−1 (f )
(x) Δt
−→ Δt↓0 L
c (f )(x) + L
d (f )(x) = L(f )(x)
5.7 Processus non homog` enes
5.7.1 Description du mod` ele
La version non homog` ene des processus de diffusion et `
a sauts marqu´ es
d´ ecrits dans la section 5.6 est simplement d´ efinie en consid´ erant des param` etres (b tn , σ tn , V tn , M tn ) li´ es `
a la suite de pas de temps choisie. Les accroissements du processus
X
Δ
tn−1
X
Δ
tn−1 X
Δ
tn
d´ ecrits en (5.16) sont d´ esormais donn´ es par le sch´ ema suivant
X
Δ
tn−1
↓ (partie li´ ee aux sauts)
X
Δ
tn−1 := X
Δ
tn−1 + tn
Y n − X
Δ
tn−1
avec
P
tn = 0
X
Δ
tn−1
= 1 − P
tn = 1
X
Δ
tn−1
= exp
−V tn−1
X
Δ
tn−1
Δt
(5.19)
et
P
Y n ∈ dy
X
Δ
tn−1
= M tn−1 (X
Δ
tn−1 , dy)
(5.20)
↓ (partie li´ ee ` a la diffusion)
X
Δ
tn =
X
Δ
tn−1 + b tn−1
X
Δ
tn−1
Δt + σ tn−1
X
Δ
tn−1
Δβ tn
(5.21)
Le processus limite est une diffusion ` a sauts non homog` enes. Entre deux
instants de sauts T k et T k+1 , le processus X t n’est autre qu’une diffusion
d´ ecrite par l’´ equation
dX t = b t (X t ) dt + σ t (X t ) dβ t t ∈ [T k , T k+1 [
5.7 Processus non homog` enes
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