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5 Du temps discret au temps continu
Tout d’abord, par d´ efinition des accroissements du processus (5.17), on notera la d´ ecomposition suivante
Δf (X
Δ
tn ) = f (X
Δ
tn ) − f (X
Δ
tn−1 ) = Δ
c f (X
Δ
tn ) + Δ
d f (X
Δ
tn )
pour toute fonction f , avec les parties continues et discr` etes des accroissements donn´ ees par les formules
Δ
c f (X
Δ
tn ) := f (X
Δ
tn ) − f
X
Δ
tn−1
Δ
d f (X
Δ
tn ) := f
X
Δ
tn−1
− f (X
Δ
tn−1 )
On consid´ erera par la suite les trois op´ erateurs suivants
L
Δ
tn−1 (f )(x) :=
1
Δt
E
Δf (X
Δ
tn )
X
Δ
tn−1 = x
=
1
Δt
S
Δ
tn−1 K
Δ
tn−1 (f )(x) − f (x)
=
1
Δt
P
Δ
tn−1 (f )(x) − f (x)
L
Δ,d
tn−1 (f )(x) :=
1
Δt
E
Δ
d f (X
Δ
tn )
X
Δ
tn−1 = x
=
1
Δt
S
Δ
tn−1 (f )(x) − f (x)
L
Δ,c
tn−1 (f )(x) :=
1
Δt
E
Δ
c f (X
Δ
tn )
X
Δ
tn−1 = x
=
1
Δt
K
Δ
tn−1 (f )(x) − f (x)
L’op´ erateur L
Δ,d
tn−1 correspond `
a la partie pr´ evisible des sauts. Cette quantit´ e
a ´ et´ e ´ etudi´ ee en (5.12). L’op´ erateur L
Δ,c
tn−1 correspond ` a la partie pr´ evisible de
l’accroissement de la diffusion. Cette quantit´ e a ´ et´ e ´ etudi´ ee en (5.4). En utilisant les d´ eveloppements de Taylor d´ evelopp´ es dans les sections pr´ ec´ edentes,
nous avons
L
Δ,d
tn−1 (f )(x) = L
d (f )(x) Δt + O((Δt)
2 )
et
L
Δ,c
tn−1 (f )(x) = L
c (f )(x) Δt + O((Δt)
3/2 )
En terme d’op´ erateurs, nous avons les d´ ecompositions suivantes
P
Δ
tn−1 − Id = S
Δ
tn−1 K
Δ
tn−1 − Id
=
S
Δ
tn−1 − Id
+
K
Δ
tn−1 − Id
+
S
Δ
tn−1 − Id
K
Δ
tn−1 − Id
On montre ainsi que