5.6 Processus de diffusion et ` a sauts marqu´ es
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Autrement dit, pour toute fonction f suffisamment r´ eguli` ere nous avons
E
f (
X
Δ
tn−1 )
X
Δ
tn−1 = x
:= S
Δ
tn−1 (f )(x)
et
E
f (X
Δ
tn )
X
Δ
tn−1 = x
횿
:= K
Δ
tn−1 (f )(x)
Par construction, les transitions du processus X
Δ
tn
P
Δ
tn−1 (x, dy) = P
X
Δ
tn ∈ dy
X
Δ
tn−1 = x
sont donn´ ees en composant ces deux ´ etapes interm´ ediaires
P
Δ
tn−1 (f )(x) = E
f (X
Δ
tn )
X
Δ
tn−1 = x
= E
E
f (X
Δ
tn )
X
Δ
tn−1
X
Δ
tn−1 = x
= E
K
Δ
tn−1 (f )
X
Δ
tn−1
X
Δ
tn−1 = x
= S
Δ
tn−1
K
Δ
tn−1 (f )
(x)
5.6.3 Description des g´ en´ erateurs infinit´ esimaux
Comme nous l’avons vu dans les sections pr´ ec´ edentes, les g´ en´ erateurs infinit´ esimaux repr´ esentent l’´ evolution al´ eatoire des processus. Ces op´ erateurs
int´ egro-diff´ erentiels interviennent dans les d´ ecompositions de Doob-Meyer,
ainsi que dans les d´ eveloppements de Taylor stochastiques d’une fonction des
´ etats du processus. Dans cette section, nous donnons quelques indications
synth´ etiques pour d´ evelopper ces deux notions en terme du g´ en´ erateur (5.18).