5.5 Exemples de processus `
a sauts
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une taille de population donn´ ee. Dans ce cas, les ´ equations d’´ evolution sont
donn´ ees pour tout n < N par
∂
∂t
η t (n) = −λ n η t (n) + λ (n + 1)η t (n + 1)
⇓
∂
∂t
e
λnt η t (n)
= λ (n + 1)e
λnt η t (n + 1)
En utilisant le fait que, η 0 (n) = 1 N (n) = 0, ∀n < N, on obtient les relations
de r´ ecurrence inverse suivantes
e
λnt η t (n) = λ (n + 1)
t
0
e
λns η s (n + 1)ds
D’autre part, pour tout n ≤ N , nous avons
L(1 N )(n) = λ n (1 N (n − 1) − 1 N (n)) = −λ n 1 N (n)
⇓
∂
∂t
η t (N ) = −λ N η t (N ) ⇒ η t (N ) = e
−λN t
D’apr` es les relations de r´ ecurrence inverse, ceci entraˆ ıne que
e
λ(N −1)t η t (N −1) = λ N
t
0
e
λ(N −1)s e
−λN s ds = N
t
0
λ e
−λs ds = N (1−e
−λt )
⇓
η t (N − 1) = N e
−λ(N −1)t (1 − e
−λt )
Par r´ ecurrence, on montre que
η t (n) = C
n
N
e
−λt
n (1 − e
−λt )
N −n
5.5.8 Processus de naissances de Yule-Furry
On reprend le processus de naissance et mort spatialement non homogn` ene
d´ ecrit dans l’exemple 5.5.6, et on pose λ − (x) = 0, et λ + (x) = xλ, avec
une constante fix´ ee λ > 0. Autrement dit, tous les individus ont le mˆ eme
taux de d´ edoublement λ. On consid` ere la distribution initiale η 0 = δ N , o` u
N d´ esigne une taille de population donn´ ee. Ce mod` ele est appel´ e syst` eme de
Yule-Furry [71, 148]. Dans ce cas, les ´ equations d’´ evolution sont donn´ ees par
∂
∂t
η t (n) = −λ n η t (n) + λ (n − 1)η t (n − 1)