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5 Du temps discret au temps continu
En g´ en´ eral, pour n > 0 nous avons
L(1 n )(m) = λ − (m) (1 n (m − 1) − 1 n (m)) + λ + (m) (1 n (m + 1) − 1 n (m))
Il en d´ ecoule les ´ equations d’´ evolution suivantes
∂
∂t
η t (n) = − (λ − (n) + λ + (n)) η t (n) + λ − (n + 1)η t (n + 1) + λ + (n − 1)η t (n − 1)
Pour n = 0, nous avons
L(1 0 )(0) = λ + (0) (1 0 (1) − 1 0 (0)) = −λ + (0)
et
L(1 0 )(1) = λ − (1) (1 0 (0) − 1 0 (1)) + λ + (1) (1 0 (2) − 1 0 (1)) = λ − (1)
par cons´ equent, nous avons
∂
∂t
η t (0) = −λ + (0)η t (0) + λ − (1)η t (1)
La mesure d’´ equilibre η ∞ est donn´ ee par
∂
∂t η ∞ (n) = 0. Dans ce cas, nous
avons
−λ + (0)η ∞ (0) + λ − (1)η ∞ (1) = 0
⇓
− (λ − (1) + λ + (1)) η ∞ (1) + λ − (2)η ∞ (2) + λ + (0)η ∞ (0)
= −λ + (1) η ∞ (1) + λ − (2)η ∞ (2) = 0
Par une simple r´ ecurrence sur n, on obtient la formule suivante
η ∞ (n + 1) =
λ + (n)
λ − (n + 1)
η ∞ (n) = . . . =
λ + (n) . . . λ + (1)λ + (0)
λ − (n + 1) . . . λ − (2)λ − (1)
η ∞ (0)
Il en d´ ecoule que
η ∞ (0) =
⎛
⎝ 1 +
n≥0
0≤k≤n
λ + (k)
λ − (k + 1)
⎞
⎠
−1
5.5.7 Processus d’extinction
On reprend le processus de naissance et mort spatialement non homogn` ene
d´ ecrit dans l’exemple 5.5.6, et on pose λ + (x) = 0, et λ − (x) = xλ, avec une
constante fix´ ee λ > 0. Autrement dit, tous les individus ont le mˆ eme taux
de mortalit´ e λ. On consid` ere la distribution initiale η 0 = δ N , o` u N d´ esigne