5.5 Exemples de processus `
a sauts
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∂
∂t
η t (0) = −λη t (0)
et
∂
∂t
η t (n) = −λη t (n) + λ η t (n − 1)
Ces ´ equations peuvent ˆ etre r´ esolues pas `
a pas
η t (0) = e
−λt
⇒
∂
∂t
η t (1) = −λη t (1) + λ e
−λt
⇒ η t (1) = λt e
−λt
puis par r´ ecurrence sur le param` etre n, on montre que
η t (n) =
(λt)
n
n!
e
−λt
5.5.5 Processus de naissance et mort
Pla¸ cons nous dans la situation suivante
V (x) = λ − + λ + et M (x, dy) =
λ −
λ − + λ +
δ x−1 (dy) +
λ +
λ − + λ +
δ x+1 (dy)
pour tout x > 0, avec λ − , λ + deux constantes positives. Lorsque η 0 = δ N , avec
une taille initiale N > 0, les distributions η t sont des mesures de probabilit´ es
sur N. Si le processus de naissance et mort est absorb´ e en 0, on convient que
V (0) = λ + , et M (0, dy) = δ 1 (dy) ; lorsqu’une nouvelle naissance est possible
partant du vide, on convient que M (0, dy) = δ 1 (dy). Cette derni` ere situation
est plus proche des arriv´ ees et d´ eparts de clients dans des files d’attente.
Le g´ en´ erateur du processus peut s’´ ecrire sous la forme de deux g´ en´ erateurs
L(f )(x) = L − (f )(x) + L + (f )(x)
avec les g´ en´ erateurs de mort et de naissance donn´ es pour tout x > 0 par les
formules suivantes :
L − (f )(x) = λ −
(f (y) − f (x)) δ x−1 (dy)
et
L + (f )(x) = λ +
(f (y) − f (x)) δ x+1 (dy)
5.5.6 Processus spatialement non homog` enes
Les constructions ´ etudi´ ees dans l’exemple pr´ ec´ edent peuvent s’´ etendre `
a
des mod` eles o` u les taux de naissances λ + (x) et les taux de mort λ − (x)
d´ ependent de la taille x de la population. Le cas λ − (x) = 0, λ + (x) = λ,
et η 0 = δ 0 correspond au processus de Poisson examin´ e ci-dessus.