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5 Du temps discret au temps continu
Le mod` ele stochastique SIR est associ´ e ` a un processus de sauts marqu´ es
avec une fonction de taux de saut V et la transition de Markov M donn´ ees
par
V (x) =
4
i=1
V i (x) et M (x, dy) =
4
i=1
V i (x)
4
i=1 V i (x)
δ x+si (dy)
5.5.3 Syst` eme de communication ` a un serveur
On consid` ere un processus `
a saut sur un espace ` a deux ´ etats E = {0, 1}
avec les transitions de sauts entre ces deux ´ etats
M (0, 1) = 1 et M (1, 0) = 1
On notera par la suite η t (0) := η t ({0}), et η t (1) := η t ({1}). Dans ce cas, nous
avons η t (0) + η t (1) = 1, et
∂
∂t
η t (0) = η t (V M(1 0 )) − η t (V 1 0 ) = η t (1) V (1) − η t (0)V (0)
= (1 − η t (0))V (1) − η t (0)V (0) = V (1) − η t (0)(V (0) + V (1))
⇓
∂
∂t
η t (0) e
(V (0)+V (1))t
= V (1)e
(V (0)+V (1))t
On en conclut que
η t (0) = e
−(V (0)+V (1))t η 0 (0) +
V (1)
V (0) + V (1)
1 − e
−(V (0)+V (1))t
→ t↑∞
V (1)
V (0) + V (1)
5.5.4 Processus de Poisson
Pla¸ cons nous dans la situation suivante
V (x) = λ et M (x, dy) = δ x+1 (dy)
Lorsque η t = δ 0 , les distributions η t sont des mesures de probabilit´ es sur N.
f = 1 n ⇒ η t (1 n ) = η t ({n}) := η t (n) et M (1 n )(m) = 1 m+1 (n)
Par cons´ equent, nous avons
L(1 n )(m) = λ (1 m+1 (n) − 1 m (n)) et η t (L(1 n )) = λ [η t (n − 1) − η t (n)]
avec la convention η t (−n) = 0, pour tout n ∈ N.