5.5 Exemples de processus `
a sauts
125
s
+
1 = b 1 − a 1 = (−1, 1, 0) = −s
−
1
et s
+
2 = b 2 − a 2 = (0, 0, −1) = −s
−
2
et les taux
V
+
1 (x) = λ
+
1 x
1
1 x
0
2 x
0
3 = λ
+
1 x 1
V
−
1 (x) = λ
−
1 x
0
1 x
1
2 x
0
3 = λ
−
1 x 2
V
+
2 (x) = λ
+
2 x
0
1 x
1
2 x
0
3 = λ
+
2 x 2
V
−
2 (x) = 0
Les param` etres du mod` ele ´ etudi´ e dans [74] sont donn´ es par λ
+
1 = 0, 027min
−1 ,
λ
−
1 = 0, 1667min
−1 , λ
+
2 = 0, 40min
−1 , sur un pas de temps fix´ e Δt correspondant ` a 0, 5min.
Pour des exemples plus pr´ ecis, et des techniques de simulations acc´ el´ er´ ees
nous renvoyons le lecteur aux articles [72, 75].
5.5.2 Mod` eles compartimentaux en ´ epid´ emiologie
On consid` ere une population de N individus divis´ ee en 3 classes. La
premi` ere classe, not´ ee S, repr´ esente les individus sains et susceptibles d’ˆ etre infect´ es ; la seconde, not´ ee I, repr´ esente les individus infect´ es ; la troisi` eme, not´ ee
R, repr´ esente les individus gu´ eris ou retir´ es. A chaque instant t, X t = (S t , I t )
repr´ esente le nombre d’individus sains et infect´ es, avec un nombre d’individus
gu´ eris contraint par la taille R t = N − (S t + I t ). Les sauts possibles sont
donn´ es par
s 1 =
−1
1
s 2 =
0
−1
s 3 =
1
−1
s 4 =
−1
0
Le premier saut s 1 repr´ esente l’infection d’un individu sain S + I I I + I ;
le second s 2 la gu´ erison d’un individu infect´ e I I R ; le troisi` eme s 3 le d´ ec` es
d’un infect´ e I I S ; le quatri` eme s 4 , le d´ ec` es d’un individu soign´ e R R S.
Les taux de r´ ealisation de ces ´ ev´ enements sont donn´ es pour tout x =
(x 1 , x 2 ) par les fonctions de taux
V 1 (x) = a x 1 x 2 /N V 2 (x) = bx 2 V 3 (x) = cx 2 V 4 (x) = c(N − x 1 − x 2 )
pour des constantes a, b, c donn´ ees, ou `
a estimer. Dans la litt´ erature, les variables x 1 et x 2 sont souvent not´ ees abusivement S et I. Avec ces notations,
la version d´ eterministe de ces ´ evolutions est donn´ ee par le syst` eme dynamique
suivant
dS
dt
= −aSI/N + cI + cR
dI
dt
= aSI/N + bI − cI
dR
dt
= bI − cR
a sauts
125
s
+
1 = b 1 − a 1 = (−1, 1, 0) = −s
−
1
et s
+
2 = b 2 − a 2 = (0, 0, −1) = −s
−
2
et les taux
V
+
1 (x) = λ
+
1 x
1
1 x
0
2 x
0
3 = λ
+
1 x 1
V
−
1 (x) = λ
−
1 x
0
1 x
1
2 x
0
3 = λ
−
1 x 2
V
+
2 (x) = λ
+
2 x
0
1 x
1
2 x
0
3 = λ
+
2 x 2
V
−
2 (x) = 0
Les param` etres du mod` ele ´ etudi´ e dans [74] sont donn´ es par λ
+
1 = 0, 027min
−1 ,
λ
−
1 = 0, 1667min
−1 , λ
+
2 = 0, 40min
−1 , sur un pas de temps fix´ e Δt correspondant ` a 0, 5min.
Pour des exemples plus pr´ ecis, et des techniques de simulations acc´ el´ er´ ees
nous renvoyons le lecteur aux articles [72, 75].
5.5.2 Mod` eles compartimentaux en ´ epid´ emiologie
On consid` ere une population de N individus divis´ ee en 3 classes. La
premi` ere classe, not´ ee S, repr´ esente les individus sains et susceptibles d’ˆ etre infect´ es ; la seconde, not´ ee I, repr´ esente les individus infect´ es ; la troisi` eme, not´ ee
R, repr´ esente les individus gu´ eris ou retir´ es. A chaque instant t, X t = (S t , I t )
repr´ esente le nombre d’individus sains et infect´ es, avec un nombre d’individus
gu´ eris contraint par la taille R t = N − (S t + I t ). Les sauts possibles sont
donn´ es par
s 1 =
−1
1
s 2 =
0
−1
s 3 =
1
−1
s 4 =
−1
0
Le premier saut s 1 repr´ esente l’infection d’un individu sain S + I I I + I ;
le second s 2 la gu´ erison d’un individu infect´ e I I R ; le troisi` eme s 3 le d´ ec` es
d’un infect´ e I I S ; le quatri` eme s 4 , le d´ ec` es d’un individu soign´ e R R S.
Les taux de r´ ealisation de ces ´ ev´ enements sont donn´ es pour tout x =
(x 1 , x 2 ) par les fonctions de taux
V 1 (x) = a x 1 x 2 /N V 2 (x) = bx 2 V 3 (x) = cx 2 V 4 (x) = c(N − x 1 − x 2 )
pour des constantes a, b, c donn´ ees, ou `
a estimer. Dans la litt´ erature, les variables x 1 et x 2 sont souvent not´ ees abusivement S et I. Avec ces notations,
la version d´ eterministe de ces ´ evolutions est donn´ ee par le syst` eme dynamique
suivant
dS
dt
= −aSI/N + cI + cR
dI
dt
= aSI/N + bI − cI
dR
dt
= bI − cR