5.5 Exemples de processus `
a sauts
123
M
(x, dy) =
V (x)
V (x)
M (x, dy) +
1 −
V (x)
V (x)
δ x (dy)
Certains choix de couple (V, M ) simplifient la simulation du processus. Par
exemple, lorsque sup x V (x) ≤ λ, pour une constante majorante connue λ, les
taux de sauts sont simplement donn´ es par des inter-temps de loi exponentielle
de param` etre λ. Aux instants de saut, les amplitudes sont choisies selon la
transition de probabilit´ e
M
𨐾 (x, dy) =
V (x)
λ
M (x, dy) +
1 −
V (x)
λ
δ x (dy)
Lorsque la constante λ est trop ´ elev´ ee, les amplitudes de sauts sont trop
souvent nulles et les taux de non saut peuvent rendre cette technique de
simulation tr` es lente.
Ces processus `
a temps continu peuvent aussi s’interpr´ eter comme des limites de chaˆ ınes de Markov `
a horloges g´ eom´ etriques ´ etudi´ ees dans la section 5.4.1. Cette interpr´ etation fournie une technique de simulation assez
simple des processus `
a temps continu. Il suffit de remplacer les horloges exponentielles d´ ecrites en (5.14) par les horloges g´ eom´ etriques (5.13).
Compte tenu de l’importance des processus de sauts dans la mod´ elisation
de processus physiques et biologiques, dans la suite de cette section nous
pr´ esentons une s´ erie d’exemples couramment utilis´ es dans la litt´ erature.
5.5.1 Syst` eme de r´ eactions chimiques
Les processus de sauts permettent notamment de formaliser des syst` emes
de d r´ eactions chimiques entre d
composants donn´ es par le vecteur A =
(A 1 , . . . , A d )
T . En notations stoechiom´ etriques, chaque r´ eaction directe
∀1 ≤ i ≤ d
a i · A =
d
j=1
a i,j A j b i · A =
d
j=1
b i,j A j
est associ´ ee `
a un saut s
+
i = (b i − a i ) ∈ Z
d
sur les vecteurs lignes a i =
(a i,j ) 1≤j≤d et b i = (b i,j ) 1≤j≤d ; les r´ eactions inverses
∀1 ≤ i ≤ d
a i · A =
d
j=1
a i,j A j b i · A =
d
j=1
b i,j A j
sont donn´ ees par s
−
i = −s
+
i = (a i − b i ). Dans ce contexte, l’espace d’´ etat
E = Z
d
repr´ esente le nombre de mol´ ecules de chacune des esp` eces A j . Les
taux de sauts et les amplitudes des sauts sont donn´ es par les formules suivantes
a sauts
123
M
(x, dy) =
V (x)
V (x)
M (x, dy) +
1 −
V (x)
V (x)
δ x (dy)
Certains choix de couple (V, M ) simplifient la simulation du processus. Par
exemple, lorsque sup x V (x) ≤ λ, pour une constante majorante connue λ, les
taux de sauts sont simplement donn´ es par des inter-temps de loi exponentielle
de param` etre λ. Aux instants de saut, les amplitudes sont choisies selon la
transition de probabilit´ e
M
𨐾 (x, dy) =
V (x)
λ
M (x, dy) +
1 −
V (x)
λ
δ x (dy)
Lorsque la constante λ est trop ´ elev´ ee, les amplitudes de sauts sont trop
souvent nulles et les taux de non saut peuvent rendre cette technique de
simulation tr` es lente.
Ces processus `
a temps continu peuvent aussi s’interpr´ eter comme des limites de chaˆ ınes de Markov `
a horloges g´ eom´ etriques ´ etudi´ ees dans la section 5.4.1. Cette interpr´ etation fournie une technique de simulation assez
simple des processus `
a temps continu. Il suffit de remplacer les horloges exponentielles d´ ecrites en (5.14) par les horloges g´ eom´ etriques (5.13).
Compte tenu de l’importance des processus de sauts dans la mod´ elisation
de processus physiques et biologiques, dans la suite de cette section nous
pr´ esentons une s´ erie d’exemples couramment utilis´ es dans la litt´ erature.
5.5.1 Syst` eme de r´ eactions chimiques
Les processus de sauts permettent notamment de formaliser des syst` emes
de d r´ eactions chimiques entre d
composants donn´ es par le vecteur A =
(A 1 , . . . , A d )
T . En notations stoechiom´ etriques, chaque r´ eaction directe
∀1 ≤ i ≤ d
a i · A =
d
j=1
a i,j A j b i · A =
d
j=1
b i,j A j
est associ´ ee `
a un saut s
+
i = (b i − a i ) ∈ Z
d
sur les vecteurs lignes a i =
(a i,j ) 1≤j≤d et b i = (b i,j ) 1≤j≤d ; les r´ eactions inverses
∀1 ≤ i ≤ d
a i · A =
d
j=1
a i,j A j b i · A =
d
j=1
b i,j A j
sont donn´ ees par s
−
i = −s
+
i = (a i − b i ). Dans ce contexte, l’espace d’´ etat
E = Z
d
repr´ esente le nombre de mol´ ecules de chacune des esp` eces A j . Les
taux de sauts et les amplitudes des sauts sont donn´ es par les formules suivantes