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5 Du temps discret au temps continu
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Fig. 5.4. Graphe d’un processus `
a sauts marqu´ es sur E = R.
ΔX
Δ
tn :=
X
Δ
tn − X
Δ
tn−1
= tn
Y n − X
Δ
tn−1
Comme son nom l’indique, la partie pr´ evisible ΔA
Δ
tn de l’incr´ ement al´ eatoire
ΔX
Δ
tn est l’accroissement moyen que l’on peut pr´ evoir en connaissant les valeurs pass´ ees (X
Δ
t0 , . . . , X
Δ
tn−1 ) de ce processus.
Plus pr´ ecis´ ement, cette partie pr´ evisible est donn´ ee par la moyenne conditionnelle vectorielle
ΔA
Δ
tn := E
ΔX
Δ
tn | (X
Δ
t0 , . . . , X
Δ
tn−1 )
= E
Y n − X
Δ
tn−1
𨐾
1 t n =1 | X
Δ
tn−1
𨐾
=
1 − e
−V (X
Δ
t n−1
)Δt
y − X
Δ
tn−1
M (X
Δ
tn−1 , dy)
Le processus al´ eatoire
A
Δ
tn := E
X
Δ
t0
+
0 ΔA
Δ
tp
est appel´ ee la partie pr´ evisible du processus al´ eatoire X
Δ
tn .
On remarquera que l’on a