5.4 Processus ` a sauts marqu´ es
113
det
(e
xiyj /(2t) ) 1≤i,j≤N
= det (A(t))
1 + O(t
−1/4 )
o` u A(t) = (A 1 (t), . . . , A N (t)) d´ esigne la matrice form´ ee par les colonnes
A j (t) =
N
p=1
b j,p (t) B p avec
b j,p (t) :=
(y j )
p−1
(p − 1)!(2t) p−1
et
B p :=
⎛
⎜
⎜
⎝
x
(p−1)
1
. . .
x
(p−1)
N
⎞
⎟
⎟
⎠
5. En d´ eduire que
P x (X t ∈ dy ; T > t)
∝ 1 W (y) e
−|x|
2 /(4t)−|y|
2 /(4t)
×
1≤i
−N/4 )
dy
et en conclure que
P x (X t ∈ dy | T > t)
∝ 1 W (y) e
−|y|
2 /(4t)
×
1≤i
−N/4 )
dy
5.4 Processus ` a sauts marqu´ es
5.4.1 Une chaˆ ıne de Markov ` a horloge g´ eom´ etrique
Les processus stochastiques ` a sauts permettent de formaliser une foule
de ph´ enom` enes al´ eatoires de nature discontinue : processus de naissance et
mort, ´ evolution de population, processus de comptage, files d’attente processus d’arriv´ ee et de d´ epart de clients, processus de pannes, ´ evolution de
fissures, d´ eplacements par sauts spatiaux-temporels, variations d’actifs et de
cours boursiers, etc. L’analyse math´ ematique de ces processus ` a temps continu
est li´ ee `
a l’´ etude d’´ equations int´ egro-diff´ erentielles.
En pratique, leur mise en forme n´ ecessite n´ eanmoins une discr´ etisation
temporelle. Sur une suite de pas de temps (t n ) n , avec (t n − t n−1 ) = Δt, ces
processus `
a sauts s’expriment sous la forme d’une simple chaˆ ıne de Markov
X
Δ
tn , n ∈ N, ` a valeurs dans un espace d’´ etat E. A chaque instant t n , le processus X
Δ
tn−1 saute ou non vers une nouvelle valeur al´ eatoire Y n qui ne d´ epend
que du point courant.
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det
(e
xiyj /(2t) ) 1≤i,j≤N
= det (A(t))
1 + O(t
−1/4 )
o` u A(t) = (A 1 (t), . . . , A N (t)) d´ esigne la matrice form´ ee par les colonnes
A j (t) =
N
p=1
b j,p (t) B p avec
b j,p (t) :=
(y j )
p−1
(p − 1)!(2t) p−1
et
B p :=
⎛
⎜
⎜
⎝
x
(p−1)
1
. . .
x
(p−1)
N
⎞
⎟
⎟
⎠
5. En d´ eduire que
P x (X t ∈ dy ; T > t)
∝ 1 W (y) e
−|x|
2 /(4t)−|y|
2 /(4t)
×
1≤i
−N/4 )
dy
et en conclure que
P x (X t ∈ dy | T > t)
∝ 1 W (y) e
−|y|
2 /(4t)
×
1≤i
−N/4 )
dy
5.4 Processus ` a sauts marqu´ es
5.4.1 Une chaˆ ıne de Markov ` a horloge g´ eom´ etrique
Les processus stochastiques ` a sauts permettent de formaliser une foule
de ph´ enom` enes al´ eatoires de nature discontinue : processus de naissance et
mort, ´ evolution de population, processus de comptage, files d’attente processus d’arriv´ ee et de d´ epart de clients, processus de pannes, ´ evolution de
fissures, d´ eplacements par sauts spatiaux-temporels, variations d’actifs et de
cours boursiers, etc. L’analyse math´ ematique de ces processus ` a temps continu
est li´ ee `
a l’´ etude d’´ equations int´ egro-diff´ erentielles.
En pratique, leur mise en forme n´ ecessite n´ eanmoins une discr´ etisation
temporelle. Sur une suite de pas de temps (t n ) n , avec (t n − t n−1 ) = Δt, ces
processus `
a sauts s’expriment sous la forme d’une simple chaˆ ıne de Markov
X
Δ
tn , n ∈ N, ` a valeurs dans un espace d’´ etat E. A chaque instant t n , le processus X
Δ
tn−1 saute ou non vers une nouvelle valeur al´ eatoire Y n qui ne d´ epend
que du point courant.