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5 Du temps discret au temps continu
2. Si τ i,j d´ esigne la transposition des indices i < j, pour tout y ∈ C (i,j) ,
montrer que
P y (X t ∈ A σ ) = P y
X t ∈ A στi,j
et
P x (Ω t,σ ) − P x
Ω
t,σ
=
i t
0
P (T ∈ ds)
C (i,j)
P x (X s ∈ dz) P z
X t−s ∈ A στi,j
avec Ω t,σ = {X t ∈ A σ } et Ω
t,σ = Ω t,σ ∩ {T > t}.
3. En d´ eduire que
σ∈G N
sgn(σ)
P x (Ω t,σ ) − P x
Ω
t,σ
= 0
et conclure que pour toute condition initiale x = (x
1 , . . . , x
N ) t.q. x 1 <
. . . < x N , et pour toute suite de bor´ eliens A 1 < . . . < A N , les probabilit´ es
de non collisions sont donn´ ees par la formule du d´ eterminant
det ((P t (x i , A j )) 1≤i,j≤N ) = P x (X t ∈ (A 1 , . . . , A N ) et T > t)
4. On pose X t =
√
2W t , o` u W t d´ esigne un mouvement brownien sur R.
V´ erifier que
P x (X t ∈ dy ; T > t)
=
1
√ 4πt
N
1 W (y) e
−|x|
2 /(4t)−|y|
2 /(4t)
× det
(e
xiyj /(2t) ) 1≤i,j≤N
dy
(5.10)
o` u dy =
1≤i≤N dy i d´ esigne un voisinage infinit´ esimal du point y =
(y i ) 1≤i≤N ∈ R
N , |x|
2 =
1≤i≤N x
2
i , et
x ∈ W =
y ∈ R
N : y 1 < . . . < y N
la chambre de Weyl dans R
N .
On fixe le point de d´ epart x = (x i ) 1≤i≤N ∈ W. En utilisant l’approximation
∀|y j | ≤ t
3/4
e
xiyj /(2t) =
N
p=1
(x i y j )
p−1
(p − 1)!(2t) p−1
1 + O(t
−N/4 )
v´ erifier que