5.3 Exemples de diffusions
111
(ds)
2 =
1
2
Trace(dA (dA)
)
V´ erifier que (ds)
2 est invariant par l’action du groupe orthogonal dA →
U dA U
, o` u U ∈ O(N ) d´ esigne une matrice (N ×N ) telle que UU
= Id.
2. On note λ 1 ≤ . . . ≤ λ N les valeurs propres de la matrice A, et U =
(U 1 , . . . , U N ) la matrice orthogonale form´ ee par une base orthonorm´ ee de
vecteurs propres. Montrer que A = UDU
o` u D = Diag (λ 1 , . . . , λ N ).
V´ erifier que δU := U
dU = −dU
U et en d´ eduire que
(ds)
2 =
1
2
Trace(dA (dA)
) =
1
2
1≤i≤N
(dλ i )
2 +
1≤i
2 (δU )
2
i,j
en d´ eduire la formule de changement de variables
dx = 2
−N/2
⎛
⎝
1≤i
⎞
⎠
⎛
⎝
1≤i≤N
dλ i
⎞
⎠ ×
⎛
⎝
1≤i
⎞
⎠
En conclure que les N valeurs propres Λ(G) = (Λ i ) 1≤i≤N , Λ i < Λ i+1 ,
1 ≤ i < N, de la matrice G sont distribu´ ees selon la mesure de probabilit´ e
P (Λ(G) ∈ dλ) ∝ 1 λ1<...<λ N exp
⎧
⎨
⎩
−
1
4
1≤i≤N
λ
2
i
⎫
⎬
⎭
⎛
⎝
1≤i
⎞
⎠ dλ
(5.9)
o` u dλ =
1≤i≤N dλ i d´ esigne un voisinage infinit´ esimal d’un point λ =
(λ i ) 1≤i≤N ∈ R
N .
Exercice 5.3.4 (Formule de Karlin-McGregor [102]) Soient P t (x, dy) les
transitions de probabilit´ es d’un processus homog` ene X t , ` a trajectoires continues dans R. Pour un entier N ≥ 1 fix´ e, on note X t =
X
1
t , . . . , X
N
t
le
processus form´ e par N copies ind´ ependantes de X t . On se donne une suite
de bor´ eliens A 1 < . . . < A N , o` u A < B d´ esigne la relation d’ordre partiel
entre ensembles A, B ⊂ R, pour lesquels x < y pour tout (x, y) ∈ (A × B).
On note G N l’ensemble des permutations de [N ] = {1, . . . , N}, et A σ =
A σ(1) × . . . × A σ(N )
.
Soit C le sous ensemble ferm´ e de R
N d´ efini par les configurations poss´ edant
une collision
C =
x = (x
1 , . . . , x
N ) ∈ R
N : ∃(i, j) ∈ [N ]
2 , i = j t.q. x
i = x
j
et T = inf {t ≥ 0 : X t ∈ C} le premier instant o` u apparait une collision.
1. V´ erifier que C = ∪ 1≤i
1 , . . . , x
N ) ∈ R
N : ∀k, l < j x k = x l et x j = x i }
111
(ds)
2 =
1
2
Trace(dA (dA)
)
V´ erifier que (ds)
2 est invariant par l’action du groupe orthogonal dA →
U dA U
, o` u U ∈ O(N ) d´ esigne une matrice (N ×N ) telle que UU
= Id.
2. On note λ 1 ≤ . . . ≤ λ N les valeurs propres de la matrice A, et U =
(U 1 , . . . , U N ) la matrice orthogonale form´ ee par une base orthonorm´ ee de
vecteurs propres. Montrer que A = UDU
o` u D = Diag (λ 1 , . . . , λ N ).
V´ erifier que δU := U
dU = −dU
U et en d´ eduire que
(ds)
2 =
1
2
Trace(dA (dA)
) =
1
2
1≤i≤N
(dλ i )
2 +
1≤i
2 (δU )
2
i,j
en d´ eduire la formule de changement de variables
dx = 2
−N/2
⎛
⎝
1≤i
⎞
⎠
⎛
⎝
1≤i≤N
dλ i
⎞
⎠ ×
⎛
⎝
1≤i
⎞
⎠
En conclure que les N valeurs propres Λ(G) = (Λ i ) 1≤i≤N , Λ i < Λ i+1 ,
1 ≤ i < N, de la matrice G sont distribu´ ees selon la mesure de probabilit´ e
P (Λ(G) ∈ dλ) ∝ 1 λ1<...<λ N exp
⎧
⎨
⎩
−
1
4
1≤i≤N
λ
2
i
⎫
⎬
⎭
⎛
⎝
1≤i
⎞
⎠ dλ
(5.9)
o` u dλ =
1≤i≤N dλ i d´ esigne un voisinage infinit´ esimal d’un point λ =
(λ i ) 1≤i≤N ∈ R
N .
Exercice 5.3.4 (Formule de Karlin-McGregor [102]) Soient P t (x, dy) les
transitions de probabilit´ es d’un processus homog` ene X t , ` a trajectoires continues dans R. Pour un entier N ≥ 1 fix´ e, on note X t =
X
1
t , . . . , X
N
t
le
processus form´ e par N copies ind´ ependantes de X t . On se donne une suite
de bor´ eliens A 1 < . . . < A N , o` u A < B d´ esigne la relation d’ordre partiel
entre ensembles A, B ⊂ R, pour lesquels x < y pour tout (x, y) ∈ (A × B).
On note G N l’ensemble des permutations de [N ] = {1, . . . , N}, et A σ =
A σ(1) × . . . × A σ(N )
.
Soit C le sous ensemble ferm´ e de R
N d´ efini par les configurations poss´ edant
une collision
C =
x = (x
1 , . . . , x
N ) ∈ R
N : ∃(i, j) ∈ [N ]
2 , i = j t.q. x
i = x
j
et T = inf {t ≥ 0 : X t ∈ C} le premier instant o` u apparait une collision.
1. V´ erifier que C = ∪ 1≤i
1 , . . . , x
N ) ∈ R
N : ∀k, l < j x k = x l et x j = x i }