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5 Du temps discret au temps continu
D’apr` es les propri´ et´ es d’invariance par action du groupe orthogonal d´ ecrites
dans l’exercice 5.3.3, on peut choisir la base canonique u i de R
N . Dans
ce cas, nous avons
λ i (A + h G) − λ i =
√
2(hg i,i ) +
j =i
(hg i,j )
2
λ i − λ j
(5.6)
On consid` ere des matrices sym´ etriques gaussiennes dont les entr´ ees sont
donn´ ees par N (N + 1)/2 mouvements browniens W
i,j
t , 1 ≤ i < j ≤ N et
W
i
t , 1 ≤ i ≤ N
A i,i (t) =
√
2W
i (t) et A i,j (t) = A j,i (t) = W
i,j (t)
Montrer formellement ` a partir de (5.6) que les valeurs propres (λ i (t)) 1≤i≤N
de A t sont solutions de l’´ equation non lin´ eaire de type champ moyen de
Dyson
dλ i =
j =i
1
λ i − λ j
dt +
√
2 dW
i
t
Exercice 5.3.3 On rappelle qu’une surface S de dimension d ≤ n, plong´ ee
dans l’espace euclidien R
n , avec une param´ etrisation x i = x i (y 1 , . . . , y d ), i =
1, . . . , n, est munie d’une m´ etrique riemannienne et d’un ´ el´ ement de volume
(ds)
2 =
1≤i≤n
(dx i )
2 =
1≤i≤n
⎛
⎝
1≤j≤d
∂x i
∂y j
dy j
⎞
⎠
2
=
1≤j,j ≤d
h j,j dy i dy j
dy =
|det(h)| dy 1 . . . dy d
(5.7)
Soit G la matrice gaussienne sym´ etrique d´ efinie dans l’exercice 5.3.2. En
identifiant la matrice G au vecteur form´ e par ses N (N + 1)/2 entr´ ees, la loi
de G est donn´ ee par
P (G ∈ dx) = (2π)
−N (N +1)/4 exp
⎧
⎨
⎩
−
1
4
1≤i≤N
x
2
i,i −
1
2
1≤i x
2
i,j
⎫
⎬
⎭
dx
(5.8)
o` u dx = 2
−N/2
1≤i≤j≤N dx i,j
d´ esigne l’´ el´ ement de volume sur R
N (N +1)/2
associ´ e ` a la m´ etrique euclidienne
(ds)
2 =
1
2
1≤i≤N
(dx i,i )
2 +
1≤i (dx i,j )
2
1. On identifie les matrices r´ eelles sym´ etriques A de dimension N × N ` a
un point x = (x i,j ) 1≤i≤j≤N de l’espace euclidien R
N (N +1)/2 . V´ erifier que
l’´ el´ ement de volume dans cet espace est donn´ e par