5.3 Exemples de diffusions
107
L(f )(x) =
1≤i≤d
b i (x)
∂f
∂x i (x) +
1
2
1≤i,j≤d
(σ (x) σ
(x)) i,j
∂
2 f
∂x i ∂x j
(x)
Dans la formule pr´ ec´ edente σ
(x) d´ esigne la matrice transpos´ ee de σ (x).
Les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles que nous venons de d´ ecrire sont
connues sous le nom d’´ equations de Fokker-Planck [68, 129], ou ´ equations
directes de Kolmogorov [107].
5.3 Exemples de diffusions
5.3.1 Processus d’Ornstein-Ulhenbeck
Le processus d’Ornstein-Ulhenbeck, parfois appel´ e “mean reverting process” en math´ ematiques financi` eres, est donn´ e par l’´ equation suivante
dX t = −a (X t − b) dt + σ dβ t
avec des param` etres a, b, σ fix´ es. En appliquant la formule d’Itˆ o `
a la fonction
f (t, X t ) = X t e
at , on obtient le d´ eveloppement suivant
df (t, X t ) = X t ae
at dt + e
at (−a (X t − b) dt + σ dβ t ) = abe
at dt + e
at σ dβ t
Une simple int´ egration temporelle nous conduit `
a la formule
X t e
at = X 0 +
t
0
abe
as ds +
t
0
e
as σ dβ s
= X 0 + b(e
at
− 1) +
t
0
e
as σ dβ s
Par cons´ equent, nous avons
X t = e
−at X 0 + b(1 − e
−at ) +
t
0
e
−a(t−s) σ dβ s
ou de fa¸ con ´ equivalente
(X t − b) = e
−at (X 0 − b) +
t
0
e
−a(t−s) σ dβ s
5.3.2 Mouvement brownien g´ eom´ etrique
Le mouvement brownien g´ eom´ etrique, parfois appel´ e mod` ele de BlackScholes en math´ ematiques financi` eres, est donn´ e par l’´ equation suivante
dX t = a X t dt + σ X t dβ t