5.2 Processus de diffusion
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Par d´ efinition de la fonction L(f ), le terme de droite de l’´ equation ci-dessus
est donn´ e par l’´ equation suivante
E (L(f )(X s )) =
p s (x)L(f )(x) dx
=
p s (x)
∂f
∂x
(x) b(x) dx +
p s (x)
1
2
∂
2 f
∂x 2 (x) σ
2 (x) dx
A l’aide de deux int´ egrations par parties successives, on obtient la formule
suivante
E (L(f )(X s )) = −
f (x)
∂
∂x
(p s (x)b(x)) dx
+
f (x)
1
2
∂
2
∂x 2
σ
2 (x) p s (x)
dx
=
f (x) L
(p s )(x) dx
avec la fonction
L
(p s )(x) = −
∂
∂x
(p s (x)b(x)) +
1
2
∂
2
∂x 2
σ
2 (x) p s (x)
Nous avons la formule duale suivante
L(f )(x) p t (x)dx =
f (x) L
(p t )(x) dx
o` u
L
(p t )(x) = −
∂
∂x
(p t (x)b(x)) +
1
2
∂
2
∂x 2
σ
2 (x) p t (x)
Plus g´ en´ eralement, pour deux fonctions f et g suffisamment r´ eguli` eres, nous
avons la formule de dualit´ e :
g(x) L(f )(x) dx =
L
(g)(x)f (x) dx
En r´ esum´ e, nous avons montr´ e pour toute fonction test f les ´ equivalences
suivantes :