104
5 Du temps discret au temps continu
Lorsque Δt → 0 et t n → t, les sommes discr` etes convergent vers des
int´ egrales continues, et la limite de l’´ equation ci-dessus prend la forme suivante :
f (X t ) = f (X 0 ) +
t
0
L(f )(X s )ds +
t
0
∂f
∂x
(X s )σ (X s ) dβ s
L’op´ erateur f → L(f ) est appel´ e le g´ en´ erateur infinit´ esimal du processus
de diffusion X t .
Plus g´ en´ eralement, pour des fonctions f (t, x) de classe C
2 , on d´ emontre
ais´ ement la formule suivante
f (t, X t ) = f (0, X 0 ) +
t
0
𨐽
∂
ds
+ L(f )
(X s )ds +
t
0
∂f
∂x
(s, X s )σ (X s ) dβ s
Ces formules de Taylor stochastiques sont au coeur de la th´ eorie des probabilit´ es et des processus stochastiques. Elle permettent d’analyser des processus
de diffusion par de simples d´ eveloppements au second ordre. Comme nous
le verrons dans la section 5.2.3, ces formules permettent d’´ etablir un pont
entre les ´ equations de diffusions et les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Dans
la litt´ erature probabiliste, ces formules sont plus connues sous les noms de
formules d’Itˆ o [93, 94], ou formules d’Itˆ o-Doeblin [54].
5.2.3 Equations de Kolmogorov et Fokker-Planck
Supposons que la loi initiale η 0 admette une densit´ e de probabilit´ e p 0 (x)
par rapport `
a la mesure de Lebesgue sur la droite. Dans ce cas, sous certaines
hypoth` eses de r´ egularit´ e suppl´ ementaires sur les fonctions (b, σ), l’´ etat du processus X t ` a chaque instant t admet lui aussi une densit´ e de probabilit´ e p t (x).
Nous ne d´ etaillerons pas ces conditions de r´ egularit´ e, ces derni` eres peuvent
ˆ etre trouv´ ees dans des cours de probabilit´ es sur les processus de Markov `
a
temps continu. Ces conditions techniques sur les param` etres (b, σ) et les fonctions tests f utilis´ ees permettent d’inverser des op´ erations de d´ erivation et
d’int´ egration, ou encore d’effectuer des int´ egrations par parties.
Par la suite, les fonctions tests seront suppos´ ees ` a support compact, et
continument diff´ erentiables ` a tout ordre, et les densit´ es p t de carr´ e int´ egrable.
Sous ces conditions, pour toute fonction test f nous avons
∂
∂t
E(f (X t )) =
∂
∂t
R
f (x) p t (x) dx =
R
f (x)
∂p t
∂t
(x) dx
et
E(f (X t )) = E
f (X 0 ) +
t
0
L(f )(X s )ds
= E (f (X 0 )) +
t
0
E (L(f )(X s )) ds
ˆ
5 Du temps discret au temps continu
Lorsque Δt → 0 et t n → t, les sommes discr` etes convergent vers des
int´ egrales continues, et la limite de l’´ equation ci-dessus prend la forme suivante :
f (X t ) = f (X 0 ) +
t
0
L(f )(X s )ds +
t
0
∂f
∂x
(X s )σ (X s ) dβ s
L’op´ erateur f → L(f ) est appel´ e le g´ en´ erateur infinit´ esimal du processus
de diffusion X t .
Plus g´ en´ eralement, pour des fonctions f (t, x) de classe C
2 , on d´ emontre
ais´ ement la formule suivante
f (t, X t ) = f (0, X 0 ) +
t
0
𨐽
∂
ds
+ L(f )
(X s )ds +
t
0
∂f
∂x
(s, X s )σ (X s ) dβ s
Ces formules de Taylor stochastiques sont au coeur de la th´ eorie des probabilit´ es et des processus stochastiques. Elle permettent d’analyser des processus
de diffusion par de simples d´ eveloppements au second ordre. Comme nous
le verrons dans la section 5.2.3, ces formules permettent d’´ etablir un pont
entre les ´ equations de diffusions et les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Dans
la litt´ erature probabiliste, ces formules sont plus connues sous les noms de
formules d’Itˆ o [93, 94], ou formules d’Itˆ o-Doeblin [54].
5.2.3 Equations de Kolmogorov et Fokker-Planck
Supposons que la loi initiale η 0 admette une densit´ e de probabilit´ e p 0 (x)
par rapport `
a la mesure de Lebesgue sur la droite. Dans ce cas, sous certaines
hypoth` eses de r´ egularit´ e suppl´ ementaires sur les fonctions (b, σ), l’´ etat du processus X t ` a chaque instant t admet lui aussi une densit´ e de probabilit´ e p t (x).
Nous ne d´ etaillerons pas ces conditions de r´ egularit´ e, ces derni` eres peuvent
ˆ etre trouv´ ees dans des cours de probabilit´ es sur les processus de Markov `
a
temps continu. Ces conditions techniques sur les param` etres (b, σ) et les fonctions tests f utilis´ ees permettent d’inverser des op´ erations de d´ erivation et
d’int´ egration, ou encore d’effectuer des int´ egrations par parties.
Par la suite, les fonctions tests seront suppos´ ees ` a support compact, et
continument diff´ erentiables ` a tout ordre, et les densit´ es p t de carr´ e int´ egrable.
Sous ces conditions, pour toute fonction test f nous avons
∂
∂t
E(f (X t )) =
∂
∂t
R
f (x) p t (x) dx =
R
f (x)
∂p t
∂t
(x) dx
et
E(f (X t )) = E
f (X 0 ) +
t
0
L(f )(X s )ds
= E (f (X 0 )) +
t
0
E (L(f )(X s )) ds
ˆ