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5 Du temps discret au temps continu
Cette classe de fonctions est suffisamment vaste pour remplir en un certain
sens l’ensemble des fonctions continues et born´ ees, dual des mesures sign´ ees
sur R. Cette propri´ et´ e topologique, nous permet d’identifier deux mesures
sign´ ees d` es que leurs int´ egrales sur ces fonctions tests f co¨ ıncident. La propri´ et´ e recherch´ ee (5.3) nous permettra donc de conclure `
a l’´ egalit´ e au sens
faible des densit´ es
∂p t
∂t
(x) =
1
2
∂
2 p t
∂x 2 (x)
On parle dans ce cas de solution faible de l’´ equation de la chaleur.
Apr` es ce l´ eger apart´ e topologique, examinons de plus pr` es les variations
temporelles des moyennes m(t) = E(f (β t )). Par d´ efinition de la d´ eriv´ e temporelle d’une fonction, et avec quelques abus de notations, nous avons
∂
∂t
E(f (β t ))
m(t + Δt) − m(t)
Δt
=
E[f (β t + Δβ t ) − f (β t )]
Δt
avec
Δβ t = (β t+Δt − β t ) et un pas de temps Δt 0
Le d´ eveloppement de Taylor au second ordre de la fonction f , autour du point
β t nous conduit `
a la formule
f (β t + Δβ t ) − f (β t ) =
∂f
∂x
(β t ) Δβ t +
1
2
∂
2 f
∂x 2 (β t ) [Δβ t ]
2 + O((Δβ t )
3 )
o` u O((Δβ t )
3 ) d´ esigne une fonction al´ eatoire telle que
E(O((Δβ t )
3 )) ≤ Cte E((
√
Δt)
3 ) ≤ Cte Δt
√
Δt
pour une certaine constante finie Cte < ∞ ne d´ ependant que de la fonction
f . Apr` es avoir observ´ e que
E(
∂f
∂x
(β t ) Δβ t | β t ) = 0 et E
∂
2 f
∂x 2 (β t ) [Δβ t ]
2
| β t
=
∂
2 f
∂x 2 (β t ) × Δt
on en conclut que
1
Δt
E[f (β t + Δβ t ) − f (β t )] = E
1
2
∂
2 f
∂x 2 (β t )
+ o(1)
o` u o(1) d´ esigne une fonction d´ eterministe convergeant vers 0, lorsque Δt tend
vers 0. En faisant tendre le pas de temps vers 0, nous avons montr´ e l’identit´ e
suivante
∂
∂t
E(f (β t )) =
R
f (x)
∂p t
∂t
(x) dx =
1
2
R
∂
2 f
∂x 2 (x) p t (x) dx
Il nous reste donc ` a v´ erifier que l’on a