5.1 L’´ equation de la chaleur
99
Fig. 5.2. Evolution de la chaleur sur une droite.
5.1.5 Une formulation faible
La d´ erivation de l’´ equation de la chaleur d´ ecrite ci-dessus est simplement
bas´ ee sur un jeu de d´ erivations de fonctions, sans aucun fondement physique. Revenons quelques secondes `
a notre interpr´ etation de la r´ epartition
de la chaleur en terme de probabilit´ e de pr´ esence d’une particule brownienne.
Dans cette interpr´ etation physique, les variations temporelles des trajectoires
moyennes
t ∈]0, ∞[ → E(f (β t ))
sont donn´ ees par les variations temporelles de la densit´ e de probabilit´ e gaussienne
∂
∂t
E(f (β t )) =
∂
∂t
R
f (x) p t (x) dx =
R
f (x)
∂p t
∂t
(x) dx
Essayons de montrer que pour toute fonction f ` a support compact, et deux
fois d´ erivable, nous avons
R
f (x)
∂p t
∂t
(x) dx =
1
2
R
f (x)
∂
2 p t
∂x 2 (x) dx
(5.3)