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5 Du temps discret au temps continu
(t 1 − t 0 , . . . , t n − t n−1 )
Ces variables ind´ ependantes peuvent ˆ etre g´ en´ er´ ees par un algorithme de simulation de gaussiennes, tel l’algorithme de Box-Muller.
Sur un nombre pair de pas de temps, n = 2m, l’algorithme de Box-Muller
est fond´ e sur la simulation de 2m variables (U k , V k ) k=1,...,m uniformes, et
ind´ ependantes sur [0, 1]. Pour simuler les 2m accroissements gaussiens, il reste
` a poser pour tout indice k = 1, . . . , m
(β t 2k−1 − β t 2k−2 ) =
−2(t 2k−1 − t 2k ) log U k cos (2πV k )
(β t 2k − β t 2k−1 ) =
−2(t 2k − t 2k−1 ) log U k sin (2πV k )
5.1.4 L’´ equation de la chaleur
Nous avons montr´ e que la r´ epartition de la chaleur sur une barre rectiligne
´ etait donn´ ee par la distribution gaussienne d’un mouvement brownien β t sur
R. Plus formellement, nous avons pour toute fonction suffisamment r´ eguli` ere
E(f (β t )) =
R
f (x) p t (x) dx
P(βt∈dx)
avec la densit´ e gaussienne
p t (x) =
1
√
2πt
e
−
x 2
2t
Cette fonction spatio-temporelle p : (t, x) ∈]0, +∞[×R → p t (x) ∈]0, ∞[ est
la solution d’une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles, appel´ ee l’´ equation de la
chaleur
∂p t
∂t
=
1
2
∂
2 p t
∂x 2
Pour v´ erifier cette formule, il suffit simplement de d´ eriver la fonction par
rapport aux diff´ erentes variables. La d´ eriv´ ee par rapport au param` etre temporel est clairement donn´ ee par
∂p t
∂t
(x) =
1
√
2πt
−
1
2t
+
x
2
2t 2
e
−
x 2
2t =
1
2
x
2
t 2 −
1
t
p t (x)
La d´ eriv´ ee seconde par rapport `
a la coordonn´ ee spatiale est aussi donn´ ee par
la mˆ eme formule :
1
2
∂
2 p t
∂x 2 (x) = −
1
2
∂
∂x
x
t
p t (x)
=
1
2
x
2
t 2 −
1
t
p t (x)