5.1 L’´ equation de la chaleur
93
Fig. 5.1. Graphe brownien discr´ etis´ e sur un pas de temps 1/100.
Pour v´ erifier la seconde assertion, on pourra noter que l’on a
E(Δβ
n
ti | β
n
t0 , . . . , β
n
ti−1 ) = E( ti )
√
Δt =
1
2
−
1
2
√
Δt = 0
La premi` ere propri´ et´ e concerne la vitesse du marcheur, la seconde souligne le
fait que ses d´ eplacements al´ eatoires et locaux sont nuls, en moyenne.
Entre chaque instant t i−1 et t i , on convient que le marcheur ´ evolue de
fa¸ con rectiligne, sur la pente entre β
n
ti−1 et β
n
ti . Autrement dit, sa position aux
temps t ∈ [t i−1 , t i [ est donn´ ee par l’interpolation lin´ eaire des deux extr´ emit´ es
β
n
ti−1 et β
n
ti . Plus formellement, nous avons
β
n
t = β
n
ti−1 +
β
n
t i
−β
n
t i−1
ti−ti−1 (t − t i )
Par d´ efinition de la s´ equence d’instants t i , nous avons t i − t i−1 = 1/n, et donc
β
n
t = β
n
ti−1 + (nt − nt i−1 ) Δβ
n
ti = β
n
ti−1 +
√
n (t − [nt]/n) ti ,
apr` es avoir not´ e que
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Fig. 5.1. Graphe brownien discr´ etis´ e sur un pas de temps 1/100.
Pour v´ erifier la seconde assertion, on pourra noter que l’on a
E(Δβ
n
ti | β
n
t0 , . . . , β
n
ti−1 ) = E( ti )
√
Δt =
1
2
−
1
2
√
Δt = 0
La premi` ere propri´ et´ e concerne la vitesse du marcheur, la seconde souligne le
fait que ses d´ eplacements al´ eatoires et locaux sont nuls, en moyenne.
Entre chaque instant t i−1 et t i , on convient que le marcheur ´ evolue de
fa¸ con rectiligne, sur la pente entre β
n
ti−1 et β
n
ti . Autrement dit, sa position aux
temps t ∈ [t i−1 , t i [ est donn´ ee par l’interpolation lin´ eaire des deux extr´ emit´ es
β
n
ti−1 et β
n
ti . Plus formellement, nous avons
β
n
t = β
n
ti−1 +
β
n
t i
−β
n
t i−1
ti−ti−1 (t − t i )
Par d´ efinition de la s´ equence d’instants t i , nous avons t i − t i−1 = 1/n, et donc
β
n
t = β
n
ti−1 + (nt − nt i−1 ) Δβ
n
ti = β
n
ti−1 +
√
n (t − [nt]/n) ti ,
apr` es avoir not´ e que