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5 Du temps discret au temps continu
tuel partant de l’origine choisit `
a chaque instant d’´ evoluer al´ eatoirement vers
la droite ou vers la gauche. Ses d´ eplacements vers la gauche −ΔX ou vers la
droite +ΔX, par unit´ e de temps Δt sont extrˆ emement amples et erratiques,
au sens o` u
[ΔX]
2 = Δt
Autrement dit, le marcheur effectue des amplitudes de d´ eplacement du type
±
√
Δt, par unit´ e de temps Δt. Par exemple, pour des fr´ equences temporelles
tr` es rapides de Δt = 10
−10 secondes, les amplitudes spatiales sont donn´ ees
par, disons ΔX = 10
−5 m` etres. La vitesse de ce marcheur est extrˆ emement
rapide. Il court tout simplement ` a ΔX/Δt = 10
5 m` etres par seconde !
Supposons que notre marcheur ´ evolue dans des ´ echelles sub-atomiques.
Pour un observateur macroscopique cela revient ` a s’´ eloigner de plus en plus du
mouvement d´ ecrit plus haut en faisant tendre les deux pas de la grille spatiotemporelle ΔX et Δt vers 0. Pour cet observateur, ces particules browniennes
ont tout simplement une amplitude de vitesse infinie
ΔX
Δt
=
±1
√
Δt
−→ ±∞ lorsque ΔX et Δt ↓ 0
La construction probabiliste du mouvement brownien d´ evelopp´ ee en 1923
par l’am´ ericain Nobert Wiener est assez sophistiqu´ ee. Dans ce qui suit, nous
allons essayer d’en donner les grandes lignes. Par souci de clart´ e, nous conviendrons que l’intervalle de temps est simplement donn´ e par le segment unit´ e
[0, 1]. On choisit une s´ equence d’instants t i ´ equi-distribu´ es
t 0 = 0 < t 1 = 1/n < . . . < t i = i/n < . . . < t n−1 = (n − 1)/n < t n = 1
avec
t i − t i−1 = Δt = 1/n
On construit sur cette subdivision, une marche al´ eatoire simple (β
n
ti ) i=0,...,n
centr´ ee en l’origine :
β
n
0 = 0 et Δβ
n
ti = β
n
ti − β
n
ti−1 = ti
√
Δt ,
o` u les variables al´ eatoires ti repr´ esentent les mouvements al´ eatoires ind´ ependants,
vers la gauche ou bien vers la droite, de notre marcheur ind´ ecis
P( ti = +1) = P( ti = −1) =
1
2
.
Par construction, cette marche al´ eatoire poss` ede les deux propri´ et´ es essentielles suivantes
Δβ
n
ti × Δβ
n
ti = Δt
E(Δβ
n
ti | β
n
t0 , . . . , β
n
ti−1 ) = 0
5 Du temps discret au temps continu
tuel partant de l’origine choisit `
a chaque instant d’´ evoluer al´ eatoirement vers
la droite ou vers la gauche. Ses d´ eplacements vers la gauche −ΔX ou vers la
droite +ΔX, par unit´ e de temps Δt sont extrˆ emement amples et erratiques,
au sens o` u
[ΔX]
2 = Δt
Autrement dit, le marcheur effectue des amplitudes de d´ eplacement du type
±
√
Δt, par unit´ e de temps Δt. Par exemple, pour des fr´ equences temporelles
tr` es rapides de Δt = 10
−10 secondes, les amplitudes spatiales sont donn´ ees
par, disons ΔX = 10
−5 m` etres. La vitesse de ce marcheur est extrˆ emement
rapide. Il court tout simplement ` a ΔX/Δt = 10
5 m` etres par seconde !
Supposons que notre marcheur ´ evolue dans des ´ echelles sub-atomiques.
Pour un observateur macroscopique cela revient ` a s’´ eloigner de plus en plus du
mouvement d´ ecrit plus haut en faisant tendre les deux pas de la grille spatiotemporelle ΔX et Δt vers 0. Pour cet observateur, ces particules browniennes
ont tout simplement une amplitude de vitesse infinie
ΔX
Δt
=
±1
√
Δt
−→ ±∞ lorsque ΔX et Δt ↓ 0
La construction probabiliste du mouvement brownien d´ evelopp´ ee en 1923
par l’am´ ericain Nobert Wiener est assez sophistiqu´ ee. Dans ce qui suit, nous
allons essayer d’en donner les grandes lignes. Par souci de clart´ e, nous conviendrons que l’intervalle de temps est simplement donn´ e par le segment unit´ e
[0, 1]. On choisit une s´ equence d’instants t i ´ equi-distribu´ es
t 0 = 0 < t 1 = 1/n < . . . < t i = i/n < . . . < t n−1 = (n − 1)/n < t n = 1
avec
t i − t i−1 = Δt = 1/n
On construit sur cette subdivision, une marche al´ eatoire simple (β
n
ti ) i=0,...,n
centr´ ee en l’origine :
β
n
0 = 0 et Δβ
n
ti = β
n
ti − β
n
ti−1 = ti
√
Δt ,
o` u les variables al´ eatoires ti repr´ esentent les mouvements al´ eatoires ind´ ependants,
vers la gauche ou bien vers la droite, de notre marcheur ind´ ecis
P( ti = +1) = P( ti = −1) =
1
2
.
Par construction, cette marche al´ eatoire poss` ede les deux propri´ et´ es essentielles suivantes
Δβ
n
ti × Δβ
n
ti = Δt
E(Δβ
n
ti | β
n
t0 , . . . , β
n
ti−1 ) = 0