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Du temps discret au temps continu
5.1 L’´ equation de la chaleur
5.1.1 Les fluctuations browniennes
Les physiciens se sont longtemps pench´ es sur la d´ efinition de la chaleur.
Depuis la nuit des temps, ou presque, nous savons que la chaleur peut ˆ etre
g´ en´ er´ ee par frottements vigoureux entre objets. En est-il de mˆ eme au niveau atomique ? La r´ epartition de la chaleur dans un corps serait-elle dict´ ee
par les excitations et les ´ evolutions chaotiques des diff´ erents atomes constituant la mati` ere ? Est-il envisageable de simuler l’agitation thermique induite
par des collisions de mol´ ecules monoatomiques dans des gaz, ou dans des liquides ? Peut-on tenir compte des diff´ erents degr´ es de frottements induits par
la mati` ere ?
Pour comprendre l’origine de ces questions, il faut remonter au d´ ebut
du 19
i` eme si` ecle, et plus pr´ ecis´ ement en 1827. Cette ann´ ee l` a, le biologiste
Robert Brown s’amuse `
a observer les mouvements erratiques de diff´ erents
grains de pollen dans une goutte d’eau. Ces grains de mati` ere subissent des
chocs incessants et impr´ evisibles avec les mol´ ecules du liquide en agitation
permanente. Leurs trajectoires al´ eatoires totalement erratiques et chaotiques,
semblent n´ eanmoins dict´ ees par des lois physiques bien pr´ ecises.
D’apr` es la th´ eorie stochastique moderne, la r´ epartition de la chaleur est
elle aussi l’expression de la r´ epartition spatiale de “grains de chaleur” anim´ es
par ces mouvements browniens. Si l’on chauffe une barre de fer rectiligne en un
point donn´ e, les mol´ ecules de mati` ere en ce point prennent de l’´ energie, et se
mettent `
a vibrer, et ` a se cogner entre elles. Ces successions de collisions de tous
cot´ es conf` erent aux particules des mouvements impr´ evisibles et chaotiques,
allant vers la droite ou vers la gauche. Lorsque le temps s’´ ecoule, les grains de
chaleur se trouvent distribu´ es sur la barre selon une distribution gaussienne
centr´ ee en la source de chaleur, et de plus en plus ´ etal´ ee sur les bords.
Le mouvement brownien uni-dimensionnel peut ˆ etre construit `
a partir
d’une simple marche al´ eatoire sur la droite des r´ eels R. Un marcheur virP. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_5,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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Du temps discret au temps continu
5.1 L’´ equation de la chaleur
5.1.1 Les fluctuations browniennes
Les physiciens se sont longtemps pench´ es sur la d´ efinition de la chaleur.
Depuis la nuit des temps, ou presque, nous savons que la chaleur peut ˆ etre
g´ en´ er´ ee par frottements vigoureux entre objets. En est-il de mˆ eme au niveau atomique ? La r´ epartition de la chaleur dans un corps serait-elle dict´ ee
par les excitations et les ´ evolutions chaotiques des diff´ erents atomes constituant la mati` ere ? Est-il envisageable de simuler l’agitation thermique induite
par des collisions de mol´ ecules monoatomiques dans des gaz, ou dans des liquides ? Peut-on tenir compte des diff´ erents degr´ es de frottements induits par
la mati` ere ?
Pour comprendre l’origine de ces questions, il faut remonter au d´ ebut
du 19
i` eme si` ecle, et plus pr´ ecis´ ement en 1827. Cette ann´ ee l` a, le biologiste
Robert Brown s’amuse `
a observer les mouvements erratiques de diff´ erents
grains de pollen dans une goutte d’eau. Ces grains de mati` ere subissent des
chocs incessants et impr´ evisibles avec les mol´ ecules du liquide en agitation
permanente. Leurs trajectoires al´ eatoires totalement erratiques et chaotiques,
semblent n´ eanmoins dict´ ees par des lois physiques bien pr´ ecises.
D’apr` es la th´ eorie stochastique moderne, la r´ epartition de la chaleur est
elle aussi l’expression de la r´ epartition spatiale de “grains de chaleur” anim´ es
par ces mouvements browniens. Si l’on chauffe une barre de fer rectiligne en un
point donn´ e, les mol´ ecules de mati` ere en ce point prennent de l’´ energie, et se
mettent `
a vibrer, et ` a se cogner entre elles. Ces successions de collisions de tous
cot´ es conf` erent aux particules des mouvements impr´ evisibles et chaotiques,
allant vers la droite ou vers la gauche. Lorsque le temps s’´ ecoule, les grains de
chaleur se trouvent distribu´ es sur la barre selon une distribution gaussienne
centr´ ee en la source de chaleur, et de plus en plus ´ etal´ ee sur les bords.
Le mouvement brownien uni-dimensionnel peut ˆ etre construit `
a partir
d’une simple marche al´ eatoire sur la droite des r´ eels R. Un marcheur virP. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_5,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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