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4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction
k : X k =y
G(X k )
n−1
l=0 G(X l )
=
G(y)
n−1
l=0 G(X l )
Ces deux probabilit´ es sont clairement ´ egales lorsque l’on a
G(y) = m(x) G(x)
`
A titre illustratif, supposons qu’un site x de faible potentiel G(x) =
1
100 ait
souvent ´ et´ e visit´ e par le pass´ e, disons une centaine de fois. D’apr` es la discussion
pr´ ec´ edente, cet ´ etat x est aussi attirant qu’un site y de potentiel maximal
G(y) = 1, mais visit´ e qu’une seule fois !
L’´ etape compl` ete de s´ election d’un site parmi les sites pr´ ec´ edemment visit´ es revient `
a consid´ erer une variable al´ eatoire
X n−1 de loi donn´ ee par la
formule suivante
P(
X n−1 ∈ dx | X 0 , . . . , X n−1 )
= G(X n−1 ) δ Xn−1 (dx) + (1 − G(X n−1 ))
n−1
k=0
G(X k )
n−1
l=0 G(X l )
δ X k (dx)
Une fois le site
X n−1 s´ electionn´ e, l’individu explore l’espace selon la transition
de probabilit´ e M (
X n−1 , dy). Autrement dit, il effectue une mutation al´ eatoire
X n−1 X n , en choisissant le site X n selon la loi de probabilit´ e M (
X n−1 , dy).
Plus formellement, nous avons
P(X n ∈ dy |
X n−1 = x) = M (x, dy)
En int´ egrant l’´ etape de s´ election,
X 0 , . . . , X n−1 −→
X n−1 −→ X n
on obtient la probabilit´ e de transition des sites visit´ es par le pass´ e X 0 , . . . , X n−1
vers le site courant X n
P(X n ∈ dy | X 0 , . . . , X n−1 )
= P(X n ∈ dy ,
X n−1 ∈ E | X 0 , . . . , X n−1 )
=
E
P(X n ∈ dy |
X n−1 = x) P(
X n−1 ∈ dx | X 0 , . . . , X n−1 )
Par construction, on obtient la formule