4.7 M´ ecanismes de renforcements g´ en´ etiques
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l’explorateur se tourne vers son pass´ e, il ´ etait simplement plus attir´ e par les
sites les plus fr´ equemment visit´ es. Les processus de renforcements associ´ es
` a un potentiel d’attraction spatiale sont plus complexes. Ils font partie des
chaˆ ınes en auto-interaction non lin´ eaires. L’analyse de ces processus est bien
plus ardue que celle des mod` eles examin´ es dans les sections pr´ ec´ edentes. Elle
repose en g´ en´ eral sur des techniques de martingales. Il existe une vari´ et´ e de
tels mod` eles. Nous renvoyons le lecteur aux articles du premier auteur avec
L. Miclo [34, 35]. Dans ce qui suit, nous allons pr´ esenter un processus non
lin´ eaire assez ´ el´ ementaire, et assez voisin des ´ evolutions renforc´ ees d´ ecrites
dans les sections pr´ ec´ edentes. Cette classe de chaˆ ınes en auto-interaction de
type ´ evolutionnaire est construite `
a l’aide de deux seuls ingr´ edients :
– Un potentiel d’attraction de certains sites dans un espace d’´ etat E,
d´ ecrit par une fonction positive
G : x ∈ E → G(x) ∈]0, 1]
Un site donn´ e x ∈ E est d’autant plus attractif que son potentiel G(x)
est ´ elev´ e.
– Les mouvements libres de notre marcheur sont dict´ es par la donn´ ee d’une
probabilit´ e de transition M (x, dy). Cette transition d´ ecrit les probabilit´ es d’´ evolution libre d’un ´ etat x dans un voisinage infinit´ esimal dy du
point y.
4.7.2 Un mod` ele de mutation et s´ election renforc´ ees
Supposons que notre marcheur soit pass´ e, entre les instants 0 et (n −
1), par les sites X 0 , . . . , X n−1 . `
A l’´ etape suivante n, l’individu d´ ecide avec
une probabilit´ e G(X n−1 ) de rester sur le site X n−1 . Dans le cas contraire, il
choisit de retourner sur ses pas. Il choisit al´ eatoirement dans ce cas, l’un des
pr´ ec´ edents sites avec la probabilit´ e
n−1
k=0
G(X k )
n−1
l=0 G(X l )
δ X k
Autrement dit, l’individu choisit d’aller sur le site X k avec la probabilit´ e
G(X k )
n−1
l=0 G(X l )
. Examinons de plus pr` es cette ´ etape de s´ election renforc´ ee. Un site
x visit´ e m(x) fois, et ayant un potentiel d’attraction G(x), est aussi attractif
qu’un site y visit´ e une seule fois, et ayant un potentiel d’attraction G(y) =
m(x) G(x). En effet, la probabilit´ e de choisir le site x est donn´ ee par
k : X k =x
G(X k )
n−1
l=0 G(X l )
= m(x)
G(x)
n−1
l=0 G(X l )
et celle de choisir le site y est donn´ ee par
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l’explorateur se tourne vers son pass´ e, il ´ etait simplement plus attir´ e par les
sites les plus fr´ equemment visit´ es. Les processus de renforcements associ´ es
` a un potentiel d’attraction spatiale sont plus complexes. Ils font partie des
chaˆ ınes en auto-interaction non lin´ eaires. L’analyse de ces processus est bien
plus ardue que celle des mod` eles examin´ es dans les sections pr´ ec´ edentes. Elle
repose en g´ en´ eral sur des techniques de martingales. Il existe une vari´ et´ e de
tels mod` eles. Nous renvoyons le lecteur aux articles du premier auteur avec
L. Miclo [34, 35]. Dans ce qui suit, nous allons pr´ esenter un processus non
lin´ eaire assez ´ el´ ementaire, et assez voisin des ´ evolutions renforc´ ees d´ ecrites
dans les sections pr´ ec´ edentes. Cette classe de chaˆ ınes en auto-interaction de
type ´ evolutionnaire est construite `
a l’aide de deux seuls ingr´ edients :
– Un potentiel d’attraction de certains sites dans un espace d’´ etat E,
d´ ecrit par une fonction positive
G : x ∈ E → G(x) ∈]0, 1]
Un site donn´ e x ∈ E est d’autant plus attractif que son potentiel G(x)
est ´ elev´ e.
– Les mouvements libres de notre marcheur sont dict´ es par la donn´ ee d’une
probabilit´ e de transition M (x, dy). Cette transition d´ ecrit les probabilit´ es d’´ evolution libre d’un ´ etat x dans un voisinage infinit´ esimal dy du
point y.
4.7.2 Un mod` ele de mutation et s´ election renforc´ ees
Supposons que notre marcheur soit pass´ e, entre les instants 0 et (n −
1), par les sites X 0 , . . . , X n−1 . `
A l’´ etape suivante n, l’individu d´ ecide avec
une probabilit´ e G(X n−1 ) de rester sur le site X n−1 . Dans le cas contraire, il
choisit de retourner sur ses pas. Il choisit al´ eatoirement dans ce cas, l’un des
pr´ ec´ edents sites avec la probabilit´ e
n−1
k=0
G(X k )
n−1
l=0 G(X l )
δ X k
Autrement dit, l’individu choisit d’aller sur le site X k avec la probabilit´ e
G(X k )
n−1
l=0 G(X l )
. Examinons de plus pr` es cette ´ etape de s´ election renforc´ ee. Un site
x visit´ e m(x) fois, et ayant un potentiel d’attraction G(x), est aussi attractif
qu’un site y visit´ e une seule fois, et ayant un potentiel d’attraction G(y) =
m(x) G(x). En effet, la probabilit´ e de choisir le site x est donn´ ee par
k : X k =x
G(X k )
n−1
l=0 G(X l )
= m(x)
G(x)
n−1
l=0 G(X l )
et celle de choisir le site y est donn´ ee par