4.6 Les trois uniques formes de ralentissement
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E([S n (f ) − μ(f )]
2 )
≥
e
−(2) 2 s
2 2
n
2
(n+1) 2 n
−2(1−)
(1 + 2) +
1−(n+1)
−(2−1)
2−1
≥
e
−(2) 2 s
2 2(+1) n
−2(1−)
(1 + 2) +
1−(n+1)
−(2−1)
2−1
.
En r´ esum´ e, nous avons montr´ e que
>
1
2
=⇒ E([S n (f ) − μ(f )]
2 )
1
2 cte. n
−(1−)
Pour conclure, on peut noter que les deux estimations pr´ ec´ edentes sont suffisamment fines pour retrouver les corrections logarithmiques correspondant
au cas = 1/2. Plus pr´ ecis´ ement, lorsque le param` etre ↓
1
2 , nous avons
1 − n
−(2−1)
2 − 1
= −
n
0
− n
−(2−1)
0 − (2 − 1)
→ −
∂n
−u
∂u |u=0
= log n
et
1 − (n + 1)
−(2−1)
2 − 1
= −
(n + 1)
0
− (n + 1)
−(2−1)
0 − (2 − 1)
→ −
∂(n+1)
−u
∂u
|u=0
= log (n + 1) .
On retrouve donc la propri´ et´ e suivante :
=
1
2
=⇒ E([S n (f ) − μ(f )]
2 )
1
2 cte.
log n
n
.
Le cas <
1
2
Lorsque le param` etre de renforcement <
1
2 , la suite
n
k=1
1
k 2 converge
vers l’infini, lorsque le param` etre n tend vers l’infini. Pour ˆ etre plus pr´ ecis,
nous avons
n
k=1
1
k 2 ≤ 1 +
n
k=2
k
k−1
dt
t 2 = 1 +
1
1 − 2
n
1
∂
∂t
t
1−2
dt = 1 +
n
(1−2)
− 1
1 − 2
et
n
k=1
1
k 2 ≥
n
k=1
k+1
k
dt
t 2
=
1
1 − 2
n+1
1
∂
∂t
t
1−2
dt =
(n + 1)
(1−2)
− 1
1 − 2
.