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4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction
Par d´ efinition de I n (f ), on en d´ eduit
e
−s
2 3
log n
n
≤
e
−s
2
n log n
(n + 1) 2 ≤ E([S n (f ) − μ(f )]
2 ) ≤ 4
n log n
(n + 1) 2 ≤ 4
log n
n
.
En r´ esum´ e, nous avons montr´ e que
=
1
2
=⇒ E([S n (f ) − μ(f )]
2 )
1
2 cte.
log n
n
Le cas >
1
2
Lorsque le param` etre de renforcement >
1
2 , la suite
n
k=1
1
k 2 converge
vers une limite finie. Pour ˆ etre plus pr´ ecis, nous avons
n
k=1
1
k 2 ≤ 1 +
n
k=2
k
k−1
dt
t 2
= 1 +
n
1
dt
t 2 = 1 +
1
1 − 2
n
1
∂
∂t
t
1−2
dt = 1 +
1 − n
−(2−1)
2 − 1
et
n
k=1
1
k 2 ≥
n
k=1
k+1
k
dt
t 2
=
n+1
1
dt
t 2 =
1
1 − 2
n+1
1
∂
∂t
t
1−2
dt =
1 − (n + 1)
−(2−1)
2 − 1
.
On en conclut que
1 − (n + 1)
−(2−1)
2 − 1
≤
n
k=1
1
k 2 ≤ 1 +
1 − n
−(2−1)
2 − 1
.
D’apr` es les estimations de I n (f ) pr´ esent´ ees en (4.3), on en d´ eduit que
E([S n (f ) − μ(f )]
2 ) =
I n (f )
(n + 1) 2
≤
n
2
(n + 1) 2 n
−2(1−)
(1 + 2) + 1 +
1 − n
−(2−1)
2 − 1
≤ n
−2(1−)
(1 + 2) + 1 +
1 − n
−(2−1)
2 − 1
et