4.6 Les trois uniques formes de ralentissement
83
Ainsi, si l’on pose x = (2/l), on obtient la minoration
log
1 +
2
l
≥
2
l
1 −
2
l + 2
≥
2
l
1 −
2
l
=
2
l
−
2
l
2
.
On en conclut que
log β k (n) ≥ (2)
n
l=k+1
1
l
− (2)
2
n
l=k+1
1
l 2 ≥ −(2)
2 s + (2)
n
l=k+1
1
l
.
On remplace ` a nouveau ces sommes par des int´ egrales en utilisant les majorations ´ el´ ementaires
1
l
≥
l+1
l
dt
t
=⇒
n
l=k+1
1
l
≥
n
l=k+1
l+1
l
dt
t
=
n+1
k+1
dt
t
= log
n + 1
k + 1
.
On en d´ eduit la minoration suivante
log β k (n) ≥ −(2)
2 s + (2) log
n + 1
k + 1
⇒ β k (n) ≥ e
−(2)
2 s
n + 1
k + 1
2
.
On peut noter que pour tout k ≥ 1, nous avons
n + 1
k + 1
=
n
k
×
n + 1
n
×
k
k + 1
≥
n
k
× 1 ×
1
2
,
ce qui entraˆ ıne que
e
−(2)
2 s 1
2 2
n
k
2 ≤ β k (n) ≤
n
k
2
.
Pour estimer le terme d’ordre k = 0, il suffit de noter que l’on a
(1 + 2)
1
2 2 e
−(2)
2 s n
2
≤ β 0 (n) = (1 + 2) × β 1 (n) ≤ (1 + 2) n
2 .
La fin de la d´ emonstration de (4.3) est d´ esormais claire.
Le cas =
1
2
Commen¸ cons par noter que
log n ≤ log (n + 1) =
n
k=1
k+1
k
dt
t
≤
n
k=1
1
k
≤ 1 +
n
k=2
k
k−1
dt
t
= 1 + log n .
Ainsi, lorsque = 1/2, nous avons pour tout n ≥ 3
e
−s
2
n log n ≤
e
−s
2
n (2 + log n) ≤ I n (f ) ≤ n (3 + log n) ≤ 4 n log n .