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4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction
4.6.3 Estimations des erreurs locales
Notre prochain objectif est de d´ emontrer les estimations suivantes :
e
−(2)
2 s
2 2 n
2
(1 + 2) +
n
k=1
1
k 2
≤ I n (f ) ≤ n
2
(1 + 2) +
n
k=1
1
k 2
(4.3)
avec la constante s d´ efinie par la formule d’Euler
s =
n≥1
1
n 2 =
π
2
6
1, 645
Pour v´ erifier cette majoration, nous devons analyser plus finement les
termes d’erreurs locales β k (n). Pour contrˆ oler leur croissance, on utilise tout
d’abord la majoration logarithmique
∀x ≥ 0 logx ≤ (x − 1) ,
pour v´ erifier que l’on a
log
1 +
2
l
≤
2
l
.
Ainsi, pour tout k ≥ 1, on obtient la majoration
log β k (n) =
n
l=k+1
log
1 +
2
l
1 ≤ 2
n
l=k+1
1
l
.
On remplace ces sommes par des int´ egrales en utilisant les majorations
´ el´ ementaires suivantes
1
l
≤
l
l−1
dt
t
=⇒
n
l=k+1
1
l
≤
n
l=k+1
l
l−1
dt
t
=
n
k
dt
t
= log (n/k) .
On en conclut que
log β k (n) ≤ (2 log (n/k)) = log (n/k)
2 =⇒ β k (n) ≤ (n/k)
2 .
Pour v´ erifier la minoration, on utilise l’in´ egalit´ e logarithmique
x log x ≥ (x − 1) ,
valable pour tout x ≥ 1. En rempla¸ cant x par x + 1, on a aussi
log (x + 1) ≥
x
x + 1
= x
1 −
x
x + 1
.