4.6 Les trois uniques formes de ralentissement
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En multipliant ce terme par [S n−1 (f ) − S n−1 (f )], on obtient la formule suivante
E([S n−1 (f ) − S n−1 (f )] [f (X n ) − η n (f )] | X 0 , . . . , X n−1 )
= [S n−1 (f ) − S n−1 (f )]
2
En d´ eveloppant le carr´ e dans la formule (4.2), et en utilisant le fait que
η 0 = μ ⇒ η n = μ ⇒ E([f (X n ) − E(f (X n ))]
2 ) = μ(f
2 ) − μ(f )
2 = 1
on en d´ eduit que
E([S n (f ) − S n (f )]
2 )
=
n
n+1
2
+ 2 n
1
n+1
2
E([S n−1 (f ) − S n−1 (f )]
2 )
+
1
(n+1) 2 E([f (X n ) − E(f (X n ))]
2 )
=
n
n+1
2
+ 2 n
1
n+1
2
E([S n−1 (f ) − S n−1 (f )]
2 ) +
1
(n+1) 2 × 1
Pour r´ esoudre cette ´ equation, il est commode d’introduire les quantit´ es
I n (f ) = (n + 1)
2
E([S n (f ) − S n (f )]
2 )
Avec ces notations, l’´ equation pr´ ec´ edente est simplement donn´ ee par la formule r´ ecursive suivante
I n (f ) =
1 +
2
n
I n−1 (f ) + 1
La solution explicite de cette ´ equation est donn´ ee par
I n (f ) =
n
k=0
β k (n)
avec les termes d’erreurs locales
β k (n) =
n
l=k+1
1 +
2
l
et la convention
∅ = 1, lorsque k = n.