80
4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction
plus d’une fois sur deux sur ses pas. Dans cette situation, sa vitesse de
convergence `
a l’´ equilibre est donn´ ee par
>
1
2
=⇒ β(n) cte.
1
n (1−)
Comme nous l’avons vu pr´ ec´ edemment, ces degr´ es de renforcement peuvent
induire des ralentissements extrˆ emes. Un individu se retournant 99 fois sur
100 vers son pass´ e, n´ ecessiterait n = 10
200 unit´ es de temps pour ˆ etre `
a un
centi` eme pr` es distribu´ e selon la loi cible μ d´ esir´ ee
1
n 1− =
1
n
1
100
≤
1
100
⇐⇒ n ≥ 10
200
Supposons pour fixer les id´ ees que les unit´ es de temps sont les secondes.
On convient qu’une ann´ ee contient approximativement 3.10
7 secondes
60 × 60 × 24 × 365 3.10
7
L’individu n´ ecessiterait donc plus de 3.10
186 millions d’ann´ ees pour mener
` a bien son projet de r´ epartition.
4.6.2 Les variances d’erreurs
La technique d’analyse des variances d’erreur est ` a peu de choses pr` es identique `
a celle utilis´ ee dans la section 4.3, consacr´ ee ` a l’´ etude des lois d’´ evolution
de la chaˆ ıne renforc´ ee. Apr` es avoir observ´ e les d´ ecompositions suivantes
S n (f ) =
n
n + 1
S n−1 (f ) +
1
n + 1
f (X n )
S n (f ) =
n
n + 1
S n−1 (f ) +
1
n + 1
E(f (X n ))
on exprime tout d’abord les ´ ecarts au rang n comme un m´ elange des ´ ecarts
au rang pr´ ec´ edent, et des l’al´ eas courants
S n (f )−S n (f ) =
1 −
1
n + 1
[S n−1 (f )−S n−1 (f )]+
1
n + 1
[f (X n )−E(f (X n ))]
(4.2)
Apr` es avoir remarqu´ e que
E(f (X n ) | X 0 , . . . , X n−1 ) = S n−1 (f ) + (1 − ) μ(f )
E(f (X n )) = S n−1 (f ) + (1 − ) μ(f )
on montre ais´ ement que
E([f (X n ) − η n (f )] | X 0 , . . . , X n−1 ) = [S n−1 (f ) − S n−1 (f )]