5.2 La formule d’Itˆ o
93
P
t
0
h m (s) d
X, X
s
−
t
0
F
(X s ) d
X, X
s
≥ ε
≤ ε.
(5.16)
Prenons maintenant m 0 = m 1 ∨ m 2 et observons que, grˆ ace `
a (5.15) on a pour tout
entier n ≥ m 0 assez grand,
P
p m 0 −1
∑
j=0
f m 0 , j
∑
{i:t
m 0
j ≤t n
i m 0
j+1 }
(X t n
i+1
− X t n
i
)
2 −
t
0
h m 0 (s) d
X, X
s
≥ ε
≤ ε.
En combinant cette derni` ere estimation avec (5.14) et (5.16) on trouve, pour tout n
assez grand,
P
p n −1
∑
i=0
f n,i (X t n
i+1
− X t n
i
)
2 −
t
0
F
(X s ) d
X, X
s
≥ 3ε
≤ 3ε,
ce qui termine la preuve de (5.13), et de la formule d’Itˆ o dans le cas p = 1.
Dans le cas o` u p est quelconque, la formule de Taylor, appliqu´ ee pour tout i ∈
{0, 1, . . . , p n − 1} `
a la fonction
[0, 1] θ → F(X
1
t n
i
+ θ (X
1
t n
i+1
− X
1
t n
i
), . . . , X
p
t n
i
+ θ (X
p
t n
i+1
− X
p
t n
i
)) ,
donne
F(X
1
t n
i+1
, . . . , X
p
t n
i+1
) − F(X
1
t n
i
, . . . , X
p
t n
i
) =
p
∑
k=1
∂ F
∂ x k (X
1
t n
i
, . . . , X
p
t n
i
) (X
k
t n
i+1
− X
k
t n
i
)
+
p
∑
k,l=1
f
k,l
n,i
2
(X
k
t n
i+1
− X
k
t n
i
)(X
l
t n
i+1
− X
l
t n
i
)
avec, pour tous k, l ∈ {1, . . . , p}, en notant X t = (X 1
t , . . . , X
p
t ),
inf
θ ∈[0,1]
∂ 2 F
∂ x k ∂ x l
(X t n
i
+ θ (X t n
i+1
− X t n
i
)) ≤ f
k,l
n,i ≤ sup
θ ∈[0,1]
∂ 2 F
∂ x k ∂ x l
(X t n
i
+ θ (X t n
i+1
− X t n
i
))
La Proposition 5.5 donne `
a nouveau le r´ esultat recherch´ e pour les termes faisant
intervenir les d´ eriv´ ees premi` eres. De plus une l´ eg` ere modification des arguments
ci-dessus montre que, pour tous k, l ∈ {1, . . . , p},
lim
n→∞
p n −1
∑
i=0
f
k,l
n,i (X
k
t n
i+1
− X
k
t n
i
)(X
l
t n
i+1
− X
l
t n
i
) =
t
0
∂ 2 F
∂ x k ∂ x l
(X
1
s , . . . , X
p
s )d
X
k , X
l
s
,
ce qui termine la preuve du th´ eor` eme.
Un cas particulier important de la formule d’Itˆ o est la formule d’int´ egration par
parties, obtenue en prenant p = 2 et F(x, y) = xy : si X et Y sont deux semimartingales continues, on a