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5 Int´ egrale stochastique
X t Y t = X 0 Y 0 +
t
0
X s dY s +
t
0
Y s dX s +
X,Y
t
.
En particulier, si Y = X,
X
2
t = X
2
0 + 2
t
0
X s dX s +
X, X
t
.
Lorsque X = M est une martingale locale, on sait que M 2 −
M, M
est une martingale locale. La formule pr´ ec´ edente montre que cette martingale locale est
M
2
0 + 2
t
0
M s dM s ,
ce qu’on aurait pu voir directement sur la d´ emonstration faite dans le Chapitre 4
(notre construction de
M, M
faisait intervenir des approximations de l’int´ egrale
stochastique
t
0 M s dM s ).
Soit B un (F t )-mouvement brownien r´ eel (rappelons que cela signifie que B est
un mouvement brownien adapt´ e `
a (F t ) et que, pour tous 0 ≤ s < t, la variable B t −B s
est ind´ ependante de la tribu F s ). Un (F t )-mouvement brownien est une martingale,
et on a d´ ej` a remarqu´ e que sa variation quadratique est
B, B
t
= t.
Pour un (F t )-mouvement brownien B, la formule d’Itˆ o s’´ ecrit
F(B t ) = F(B 0 ) +
t
0
F
(B s ) dB s +
1
2
t
0
F
(B s )ds.
En prenant X 1
t = t, X 2
t = B t , on a aussi pour toute fonction F de classe C 2 sur
R + × R,
F(t, B t ) = F(0, B 0 ) +
t
0
∂ F
∂ x
(s, B s ) dB s +
t
0
(
∂ F
∂t
+
1
2
∂ 2 F
∂ x 2 )(s, B s ) ds.
On peut aussi d´ efinir la notion de (F t )-mouvement brownien en dimension d :
un processus B t = (B 1
t , . . . , B d
t ) est un (F t )-mouvement brownien en dimension d
si B est un mouvement brownien en dimension d (voir la fin du chapitre 2), qui est
adapt´ e `
a (F t ) et tel que, pour tous 0 ≤ s < t, la variable B t − B s est ind´ ependante
de la tribu F s . Cela entraˆ ıne en particulier que les composantes B 1 , . . . , B d sont des
(F t )-mouvements browniens r´ eels (pas forc´ ement ind´ ependants car il peut exister
une d´ ependance `
a cause de la valeur initiale). Il est facile d’adapter la preuve du
Th´ eor` eme 2.3 pour montrer que si T est un temps d’arrˆ et de la filtration (F t ) t≥0 qui
est fini p.s., alors le processus (B
(T )
t
= B T +t − B T ,t ≥ 0) est aussi un mouvement
brownien en dimension d et est ind´ ependant de F T .
Si B t = (B 1
t , . . . , B d
t ) est un (F t )-mouvement brownien en dimension d, il d´ ecoule
d’une remarque suivant le D´ efinition 4.4 que
B i , B j
= 0 lorsque i = j (remarquer
qu’on se ram` ene au cas o` u B 1 , . . . , B d sont ind´ ependants en retranchant la valeur
initiale, ce qui ne change pas la valeur de
B i , B j
). La formule d’Itˆ o montre alors
que, pour toute fonction F de classe C 2 sur R d ,
5 Int´ egrale stochastique
X t Y t = X 0 Y 0 +
t
0
X s dY s +
t
0
Y s dX s +
X,Y
t
.
En particulier, si Y = X,
X
2
t = X
2
0 + 2
t
0
X s dX s +
X, X
t
.
Lorsque X = M est une martingale locale, on sait que M 2 −
M, M
est une martingale locale. La formule pr´ ec´ edente montre que cette martingale locale est
M
2
0 + 2
t
0
M s dM s ,
ce qu’on aurait pu voir directement sur la d´ emonstration faite dans le Chapitre 4
(notre construction de
M, M
faisait intervenir des approximations de l’int´ egrale
stochastique
t
0 M s dM s ).
Soit B un (F t )-mouvement brownien r´ eel (rappelons que cela signifie que B est
un mouvement brownien adapt´ e `
a (F t ) et que, pour tous 0 ≤ s < t, la variable B t −B s
est ind´ ependante de la tribu F s ). Un (F t )-mouvement brownien est une martingale,
et on a d´ ej` a remarqu´ e que sa variation quadratique est
B, B
t
= t.
Pour un (F t )-mouvement brownien B, la formule d’Itˆ o s’´ ecrit
F(B t ) = F(B 0 ) +
t
0
F
(B s ) dB s +
1
2
t
0
F
(B s )ds.
En prenant X 1
t = t, X 2
t = B t , on a aussi pour toute fonction F de classe C 2 sur
R + × R,
F(t, B t ) = F(0, B 0 ) +
t
0
∂ F
∂ x
(s, B s ) dB s +
t
0
(
∂ F
∂t
+
1
2
∂ 2 F
∂ x 2 )(s, B s ) ds.
On peut aussi d´ efinir la notion de (F t )-mouvement brownien en dimension d :
un processus B t = (B 1
t , . . . , B d
t ) est un (F t )-mouvement brownien en dimension d
si B est un mouvement brownien en dimension d (voir la fin du chapitre 2), qui est
adapt´ e `
a (F t ) et tel que, pour tous 0 ≤ s < t, la variable B t − B s est ind´ ependante
de la tribu F s . Cela entraˆ ıne en particulier que les composantes B 1 , . . . , B d sont des
(F t )-mouvements browniens r´ eels (pas forc´ ement ind´ ependants car il peut exister
une d´ ependance `
a cause de la valeur initiale). Il est facile d’adapter la preuve du
Th´ eor` eme 2.3 pour montrer que si T est un temps d’arrˆ et de la filtration (F t ) t≥0 qui
est fini p.s., alors le processus (B
(T )
t
= B T +t − B T ,t ≥ 0) est aussi un mouvement
brownien en dimension d et est ind´ ependant de F T .
Si B t = (B 1
t , . . . , B d
t ) est un (F t )-mouvement brownien en dimension d, il d´ ecoule
d’une remarque suivant le D´ efinition 4.4 que
B i , B j
= 0 lorsque i = j (remarquer
qu’on se ram` ene au cas o` u B 1 , . . . , B d sont ind´ ependants en retranchant la valeur
initiale, ce qui ne change pas la valeur de
B i , B j
). La formule d’Itˆ o montre alors
que, pour toute fonction F de classe C 2 sur R d ,