5.2 La formule d’Itˆ o
95
F(B
1
t , . . . , B
d
t )
= F(B
1
0 , . . . , B
d
0 ) +
p
∑
i=1
t
0
∂ F
∂ x i
(B
1
s , . . . , B
d
s ) dB
i
s +
1
2
t
0
∆ F(B
1
s , . . . , B
d
s ) ds,
et on a une formule analogue pour F(t, B 1
t , . . . , B d
t ).
Remarque importante. Il arrive fr´ equemment que l’on ait besoin d’appliquer la
formule d’Itˆ o du Th´ eor` eme 5.3 `
a une fonction F qui est d´ efinie et de classe C 2 seulement sur un ouvert U de R p . Dans ce cas on peut raisonner de la mani` ere suivante.
Supposons donn´ e un autre ouvert V , tel que ¯
V ⊂ U (typiquement V sera l’ensemble
des points `
a distance strictement sup´ erieure `
a ε de U c ) et (X 1
0 , . . . , X
p
0 ) ∈ V p.s.
Notons T V := inf{t ≥ 0 : (X 1
t , . . . , X
p
t ) /
∈ V }. Des arguments simples d’analyse permettent de trouver une fonction G de classe C 2 sur R p tout entier et qui co¨ ıncide
avec F sur ¯
V . On peut maintenant appliquer la formule d’Itˆ o pour exprimer la
d´ ecomposition de la semimartingale G(X 1
t∧T V
, . . . , X
p
t∧T V
) = F(X 1
t∧T V
, . . . , X
p
t∧T V
), qui
ne fait intervenir que les d´ eriv´ ees de F sur V . Si l’on sait de plus que p.s. le processus
(X 1
t , . . . , X
p
t ) ne quitte pas U, on peut faire croˆ ıtre l’ouvert V vers U, et obtenir que
la formule d’Itˆ o pour F(X 1
t , . . . , X
p
t ) s’´ ecrit exactement comme dans le Th´ eor` eme
5.3. Ces consid´ erations s’appliquent par exemple `
a la fonction F(x) = log x et `
a une
semimartingale X `
a valeurs strictement positives : voir la preuve de la Proposition
5.8 ci-dessous.
Nous utilisons maintenant la formule d’Itˆ o pour d´ egager une classe importante de
martingales, qui g´ en´ eralise les martingales exponentielles rencontr´ ees pour les processus `
a accroissements ind´ ependants. On dit qu’un processus `
a valeurs dans C est
une martingale locale si sa partie r´ eelle et sa partie imaginaire sont des martingales
locales.
Proposition 5.6. Soit M une martingale locale et pour tout λ ∈ C, soit
E (λ M) t = exp
λ M t −
λ 2
2
M, M
t
.
Le processus E (λ M) est une martingale locale, qui s’exprime sous la forme
E (λ M) t = e
λ M 0 + λ
t
0
E (λ M) s dM s .
Remarque. L’int´ egrale stochastique dans la derni` ere formule est (´ evidemment)
d´ efinie en s´ eparant partie r´ eelle et partie imaginaire.
D´ emonstration. Si F(x, r) est une fonction de classe C 2 sur R × R + , la formule
d’Itˆ o entraˆ ıne que
F(M t ,
M, M
t
) = F(M 0 , 0) +
t
0
∂ F
∂ x
(M s ,
M, M
s
) dM s
+
t
0
∂ F
∂ r
+
1
2
∂ 2 F
∂ x 2
(M s ,
M, M
s
) d
M, M
s
.
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F(B
1
t , . . . , B
d
t )
= F(B
1
0 , . . . , B
d
0 ) +
p
∑
i=1
t
0
∂ F
∂ x i
(B
1
s , . . . , B
d
s ) dB
i
s +
1
2
t
0
∆ F(B
1
s , . . . , B
d
s ) ds,
et on a une formule analogue pour F(t, B 1
t , . . . , B d
t ).
Remarque importante. Il arrive fr´ equemment que l’on ait besoin d’appliquer la
formule d’Itˆ o du Th´ eor` eme 5.3 `
a une fonction F qui est d´ efinie et de classe C 2 seulement sur un ouvert U de R p . Dans ce cas on peut raisonner de la mani` ere suivante.
Supposons donn´ e un autre ouvert V , tel que ¯
V ⊂ U (typiquement V sera l’ensemble
des points `
a distance strictement sup´ erieure `
a ε de U c ) et (X 1
0 , . . . , X
p
0 ) ∈ V p.s.
Notons T V := inf{t ≥ 0 : (X 1
t , . . . , X
p
t ) /
∈ V }. Des arguments simples d’analyse permettent de trouver une fonction G de classe C 2 sur R p tout entier et qui co¨ ıncide
avec F sur ¯
V . On peut maintenant appliquer la formule d’Itˆ o pour exprimer la
d´ ecomposition de la semimartingale G(X 1
t∧T V
, . . . , X
p
t∧T V
) = F(X 1
t∧T V
, . . . , X
p
t∧T V
), qui
ne fait intervenir que les d´ eriv´ ees de F sur V . Si l’on sait de plus que p.s. le processus
(X 1
t , . . . , X
p
t ) ne quitte pas U, on peut faire croˆ ıtre l’ouvert V vers U, et obtenir que
la formule d’Itˆ o pour F(X 1
t , . . . , X
p
t ) s’´ ecrit exactement comme dans le Th´ eor` eme
5.3. Ces consid´ erations s’appliquent par exemple `
a la fonction F(x) = log x et `
a une
semimartingale X `
a valeurs strictement positives : voir la preuve de la Proposition
5.8 ci-dessous.
Nous utilisons maintenant la formule d’Itˆ o pour d´ egager une classe importante de
martingales, qui g´ en´ eralise les martingales exponentielles rencontr´ ees pour les processus `
a accroissements ind´ ependants. On dit qu’un processus `
a valeurs dans C est
une martingale locale si sa partie r´ eelle et sa partie imaginaire sont des martingales
locales.
Proposition 5.6. Soit M une martingale locale et pour tout λ ∈ C, soit
E (λ M) t = exp
λ M t −
λ 2
2
M, M
t
.
Le processus E (λ M) est une martingale locale, qui s’exprime sous la forme
E (λ M) t = e
λ M 0 + λ
t
0
E (λ M) s dM s .
Remarque. L’int´ egrale stochastique dans la derni` ere formule est (´ evidemment)
d´ efinie en s´ eparant partie r´ eelle et partie imaginaire.
D´ emonstration. Si F(x, r) est une fonction de classe C 2 sur R × R + , la formule
d’Itˆ o entraˆ ıne que
F(M t ,
M, M
t
) = F(M 0 , 0) +
t
0
∂ F
∂ x
(M s ,
M, M
s
) dM s
+
t
0
∂ F
∂ r
+
1
2
∂ 2 F
∂ x 2
(M s ,
M, M
s
) d
M, M
s
.